積分の問題

質問

次の問題の解法がわかりません

∫（2→3） √(x^2-4)dx

どなたか教えていただければ幸いです。

回答No.3

info22

#1です。

A#1の変数変換をすると不定積分は
∫√(x^2-4)dx=4∫{sinh(t)}^2 dt
　4∫{sinh(t)}^2 dt=2∫{cosh(2t)-1} dt
　=sinh(2t)-2t+C
と簡単に積分できてしまいます。

なお、定積分にすると変数tの範囲は
[t=0→arccosh(3/2)]となります。

回答No.2

debut

√(x^2-4)=t-xとおくと２乗して整理すれば
x=(t^2+4)/(2t)
dx={(t^2-4)/(2t^2)}dt
また、最初の式は√(x^2-4)=t-(t^2+4)/(2t)=(t^2-4)/(2t)
よって、
∫√(x^2-4)dx
=∫(t^2-4)^2/(4t^3)dt
=∫(t^4-8t^2+16)/(4t^3)dt
=∫(t/4-2/t+4/t^3)dt
=t^2/8-2logt-2/t^2・・・☆
ここで、最初の式からt=x+√(x^2-4)なので、
t^2=2x^2-4+2x√(x^2-4)
t^2/8={x^2-2+x√(x^2-4)}/4
1/t=1/{x+√(x^2-4)}={x-√(x^2-4)}/4なので、
1/t^2={2x^2-4-2x√(x^2-4)}/16
2/t^2={x^2-2-x√(x^2-4)}/4
よって、☆の式は
(1/2)x√(x^2-4)-2log{x+√(x^2-4)}と不定積分ができました。

回答No.1

info22

置換積分 x=2cosh(t)をすると積分できるでしょう。