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証明問題
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簡単のためf(x),g(x)をf,gと書かせてもらいます。 (tf+g)^2=t^2f^2+2fgt+g^2 これを積分するとき、(a,bも省略して書かせてもらいます) t^2∫f^2dx+2t∫fgdx+∫g^2dx この式を見方を変えてtについての2次式と考えてください。 ちょっと見づらいので係数をp,q,rとしてみます。 tの係数は2q pt^2+2qt+r≧0 がすべてのtについて成り立つとき (2次の係数p>0で、) その判別式DはD≦0(不等号の向きに注意) Dを計算するとD=4q^2-4pr≦0 q^2-pr≦0 q^2≦pr さあ、これで先ほどの式と比べてみてください。 わかりにくければ補足します。
- Aquoibonist
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#1のものです。#1で >これはtに関する2次方程式で、これが任意のtで成り立つ にはy=At^2+2Bt+Cの判別式D≧0となればいいから、 と書きましたが、これは間違いですので、訂正します。 正しくは 「y=At^2+2Bt+Cの判別式D≦0」です。 つまり、任意の実数tで二次関数yが常に0以上の値をとるということは、その二次関数はt軸(つまり変数の軸)に接しているか、t軸と交わらないかのいずれかですね。前者の条件は(判別式)=0に対応しますし、後者の条件は(判別式)<0に対応するのは数(1)の教科書を参照してください。
- Aquoibonist
- ベストアンサー率48% (13/27)
b ∫ {tf(x)+g(x)}^2dx≧0 …(1) a つまり、 b ∫〔t^2*{f(x)}^2+2t*f(x)g(x)+{g(t)}^2〕dx a b = ∫〔t^2*{f(x)}^2〕dx a b +∫2t*f(x)g(x)dx a b +∫{g(x)}^2dx a tはxに無関係だから、積分の外に出せて b = t^2* ∫{f(x)}^2dx a b +2t*∫f(x)g(x)dx a b +∫{g(x)}^2dx a b A=∫{f(x)}^2dx a b B=∫f(x)g(x)dx a b C=∫{g(x)}^2dx a とおけば、与式は At^2+2Bt+C≧0となる。 これはtに関する2次方程式で、これが任意のtで成り立つにはy=At^2+2Bt+Cの判別式D≧0となればいいから、 D/4=B^2-A*C≧0 これは証明すべき不等式だから、証明終了。
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