統計学：サンプリング精度の応用についての疑問

質問

サンプリング精度に似た内容で非常に困っていることがあります。
総数をサンプリングから推測する時の精度についての疑問です。

例えば100m四方のグラウンドに数万個の白と黒の碁石が散らばっている場合、その白と黒の割合を推測するには、サンプリング精度の式（最大許容範囲＝1.960xルート[p(1-p)/n]）から95%信頼区間の精度が求められます。

私の疑問は100m四方のグラウンドに数万個の碁石が散らばっている場合、一定の割合でサンプリングした場合（例えば1m四方）の数から、グランド全体の黒の碁石の総数を推測したいのです。サンプリング面積（例えば1ｍ四方が10マス）と数えた碁石の数から、推定した全体の碁石総数の95%信頼区間はどうやって計算したら良いか教えてください。

（実は、細胞懸濁液中の細胞数を、血球計算盤から計算する時の精度の問題です。体積を面積に置き換えて見ました。）

回答No.2

noname#227064 · ベストアンサー

> 「碁石総数がN個」「試行回数n」とすると
> |(x-Na/A)/√{n(a/A)(1-a/A)}| <= z
> でしょうか？

いいえ、「碁石総数 = 試行回数」なので、どちらもnです。

> 数式の意味は良く理解できませんでしたが、

数式の意味は、サンプリングエリア内に見つかる碁石の数xはNo.1に書いたように二項分布に従いますが、これが近似的に平均na/A、分散n(a/A)(1-a/A)の正規分布に従うとして考えています。

> z＝1.96として、Nで解いても解が得られませんでした。私の計算法が誤っているのかもしれません。

上記の不等式をnについて解くと、
(2x+z^2*(1-p)-√[{2x+z^2*(1-p)}^2-4*x^2])/(2p)≦n≦(2x+z^2*(1-p)+√[{2x+z^2*(1-p)}^2-4*x^2])/(2p)
となります。

> 例えば、サンプリング率（a/A）0.01%（=1/10,000）で（x）100個カウントできた場合は、総数は1x10^6個と推定できる思うのですが、その際の95%信頼区間幅はどれくらいになるのでしょうか？

これを実際に計算してみると
822277.07≦n≦1216135.08
となります。nは自然数なので、
822278≦n≦1216135
が95%信頼区間となります。

お礼

詳細な回答ありがとうございました。
やっぱり自力では不等式をnについて解くことはできませんでした。
(2x+z^2*(1-p)-√[{2x+z^2*(1-p)}^2-4*x^2])/(2p)≦n≦(2x+z^2*(1-p)+√[{2x+z^2*(1-p)}^2-4*x^2])/(2p)
は何とか数値を代入してを確認しました。
「822278≦n≦1216135」は中央値が「1000000」ではないのですね。感覚として不思議です。また、サンプリング率（p）が0.001%でも10%でも、推定値に対する95%信頼区間の割合はあまり変動しないのですね。推定値に対する95%信頼区間の割合を±10%程度に抑えるには（p）に関係なく「400個」程度数えれば良いことが理解できました。数式上、p=100%では正確な区間がでないのは正規分布に近似したためなのでしょうか？　対象数が多い場合に限定して考えたいと思います。
何度も質問にお付き合い頂き誠にありがとうございました。統計学を基礎から勉強したいと思います。

回答No.4

noname#227064

> 「試行回数」は「総数」と同じと扱う理由はなんでしょうか？

碁石をグラウンド内に一個ずつ入れていくことをイメージしてください。
碁石一個一個について、サンプリング率の確率でサンプリングエリア内に入れるか入れないかという試行を碁石の総数だけ行っているので、試行回数と総数は同じになります。

お礼

実際の試行回数ではないのですね。
いろいろありがとうございました。
長く悩んでいた問題が解決しました。

回答No.3

noname#227064

> やっぱり自力では不等式をnについて解くことはできませんでした。

|(x-na/A)/√{n(a/A)(1-a/A)}| <= z
を二乗すると
(x-na/A)^2/{n(a/A)(1-a/A)} <= z^2
(x-na/A)^2 <= z^2{n(a/A)(1-a/A)}
あとはnについての二次不等式を解くだけです。

No.2でいきなりサンプリング率をpにしていましたね……
修正しきれてませんでした。

> 「822278≦n≦1216135」は中央値が「1000000」ではないのですね。感覚として不思議です。

これは二項分布がp=0.5以外のとき非対称な分布だからでしょう。

> 数式上、p=100%では正確な区間がでないのは正規分布に近似したため
なのでしょうか？　

確かに、近似のため正確な信頼区間ではありませんが、p=100%のときはx≦n≦xつまりn=xとなります。
計算間違いされてませんか？

お礼

お礼が遅れまして申し訳ございません。
色々ありがとうございました。

実は「計算間違いされてませんか？」と問われてExcelの式を確認した結果、修正して p=100%でも成立しました。
数日に渡ってありがとうございました。

最後に、ひとつ理解できなかった点があります
「「碁石総数 = 試行回数」なので、どちらもnです」。
「試行回数」は「総数」と同じと扱う理由はなんでしょうか？

回答No.1

noname#227064

面積A m^2のグラウンド中に1個の碁石があるとすると、面積a m^2のサンプリングエリア内に碁石が見つかる確率はa/Aとなるので、碁石がn個ならサンプリングエリア内に見つかる碁石の数xは試行回数n、成功確率a/Aの二項分布に従います。
xが正規分布で近似でき、標準正規分布の97.5%点をzとすると、95の確率で
|(x-na/A)/√{n(a/A)(1-a/A)}| <= z
となります。
これをnについて解けば、A m^2のグラウンド中に存在する碁石の数の95%信頼区間が得られます。

お礼

早速の回答ありがとうございます。スマートな解説を頂き感謝いたします。
「碁石総数がN個」「試行回数n」とすると
|(x-Na/A)/√{n(a/A)(1-a/A)}| <= z
でしょうか？数式の意味は良く理解できませんでしたが、z＝1.96として、Nで解いても解が得られませんでした。私の計算法が誤っているのかもしれません。
例えば、サンプリング率（a/A）0.01%（=1/10,000）で（x）100個カウントできた場合は、総数は1x10^6個と推定できる思うのですが、その際の95%信頼区間幅はどれくらいになるのでしょうか？
サンプリング率（a/A）とサンプリングエリア内のカウント数（x）のみから求める計算式となると思うのですが。