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三平方の定理 解の媒介変数表示

x^2+y^2=z^2 の整数解は、 整数m、nを用いて x=m^2-n^2 y=2mn z=m^2+n^2 と表せることの導き方をお願いします。 因みに x=2m+1,y=2m^2+2m,z=2m^2+2m+1 は導き出せました。

みんなの回答

  • info22
  • ベストアンサー率55% (2225/4034)
回答No.3

> x,y,zの整数解は とありますので、x,y,zの整数解は、正と負の整数と0 を含むと 考えていいでしょうか? もしそうであるとしてよいなら x=m^2-n^2、y=2mnとおけるとすれば z^2=x^2+y^2=(m^2-n^2)^2+(2mn)^2=m^4+n^4-2m^2*n^2+4m^2*n^2 =m^4+n^4+2m^2*n^2=(m^2+n^2)^2 |z|=m^2+n^2 従って z≧0なら  z = m^2+n^2 と表せます。 しかし、z<0なら  z = -(m^2+n^2) となります。 従って、質問の式の整数解は z>0の場合の表現式といえますね

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  • Tacosan
  • ベストアンサー率23% (3656/15482)
回答No.2

反則技としては x = cos θ, y = sin θ から t = tan θ/2 と置く, ってのもある.

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質問者

お礼

なるほど、2乗の和ときたら、三角比ですね。

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  • fukuda-h
  • ベストアンサー率47% (91/193)
回答No.1

ピタゴラス数ですね。「ピタゴラス数」で検索されるとたくさんあります。参考までに「http://mathmuse.sci.ibaraki.ac.jp/naosuke/proof1.html

参考URL:
http://mathmuse.sci.ibaraki.ac.jp/naosuke/proof1.html
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