- ベストアンサー
減衰振動の時定数が分かりません。
- みんなの回答 （2）
- 専門家の回答
関連するQ&A
- 減衰振動においての時定数と対数減衰率
x''+2*k*x'+(w^2)*x=0で、ｋ＜ｗの時は減衰振動して、 x=A*exp(-k*t)*cos{√((w^2)-(k^2))*t+α} という解になりますよね。 x'はxの微分。 √((w^2)-(k^2)は、ルートの中に「wの２乗－kの２乗」が入ってます。 このとき、1/kが時定数です。 また、x'=0の時、xの変位は最大値をとり、時間が経つにつれてその変位の最大値は減少していきます。 今、xの変位の最大値を考え、 xの変位の最大値においてx>0の場合を考えます。 このとき、横軸を時間、縦軸をlnxをとるとその傾きは直線となり、その傾きの値を対数減衰率というと本に書いてありました。 対数減衰率＝2*k*π/√((w^2)-(k^2)) と書いてました。これは納得できるのですが、 時定数の求め方(http://qa.cyzo.com/qa4583253.html)を見ますと、 対数減衰率＝M*時定数(Mは何らかの値) という風になる気がします。 つまり、「時定数を別の言い方で言うと、対数減衰率」という気がします。(「周期Tを別の言い方で言うと、周波数f」。T=1/fというような関係があるような気がします。) 時定数と対数減衰率には何らかの関係があるのでしょうか？ それとも、二つは全くの別物で独立なのでしょうか？ (「周期Tと振幅Aは全くの別物。) よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 物理学
- 減衰振動の微分方程式の解
先生から配られたプリントには減衰振動の微分方程式が「m(dx/dt)^2+2γ・dx/dt+ω^2x=0」の時、解が「x=A・EXP（-γt）cos（ω´t＋φ）」って書かれてます。 摩擦：гならг/m=2γ、バネ定数：kならk/m=ω^2、A=√C1^2+C2^2、φ=C1/C2、ω´^2=ω^2-γ^2です。 解の式で、cosじゃなくてsinではないのですか？単振動・強制振動の場合も同様にcosでした。 誰かよろしくお願いいたします。
- ベストアンサー
- 物理学
- 減衰振動のエネルギーについて。
-bvの抵抗力の下にある調和振動子の運動方程式は、 mx"=-kx-bv である。ω0^2=k/m,γ=b/m とすれば、 x" + γx' +(ω0^2)x = 0 …(1) となる。 γ<2ωo のとき、振動しながら振幅が指数関数的に減衰して行く解は、 x(t)=A(t)cos(ω1t + φ) …(2) ここで、 A(t)=A0 exp[(-γ/2)t] …(3) ω1=√[ω0^2 -(γ^2)/4] …(4) である。 問1 (2)式をもとに、この振動子のある瞬間における力学的エネルギー E(t)=[mv(t)^2]/2 + [kx(t)^2]/2 を書き下せ。 問2 γ/ω1 << 1 のとき、 E(t)=Eo exp(-γt) となることを示せ。ここで、Eoはどのように表せるか。 問1で式を書き下してみたらexp(-γt)でくくった項がかなり複雑になってしまい困ってしまいました。 少し長いですが、解説よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 物理学
- 減衰振動のグラフが書けない…
微分方程式の基礎問題で、 10(dx^2/dt^2)+10(dx/dt)+10x=0 をx(t)について解き、グラフに示せという問題で足が止まりました。 この解は x(t)= e^(-0.5)*(3cos3.12t+0.48sin3.12t) (特性方程式 D < 0 で減衰振動) となり、ここまでは解くできましたが、これについて関数電卓で具体的な値を求めると x(0)= 3 x(1)= 1.83 x(2)= 1.12 x(3)= 0.68 x(4)= 0.41 x(5)= 0.25 … というようになり、負の値が出ず減衰振動のグラフが書けません。 ちなみに回答例のグラフでは t=0,2,4,… で極大に t=1,3,5,… で極小になっています。 それぞれの値の絶対値を取ると、上記のxの値となるのですが… どこがどう違うのさっぱり分かりません… お分かりの方がいらっしゃったらどうか教えてください。
- ベストアンサー
- 物理学
- バネの振動について
バネの振動について m*xの２階微分=-kx について解くとx=Asin(ωt+δ) になるらしいんですが分りません。 Aは任意定数です。 ω=√(k/m)です。 初期条件はt=0の時、x=0です。 x=Aexp[λt] とおいて解いたんですが、答えの形になりません。 x=Aexp[λt] を代入して m*λ^2=-k λ^2=-k/m λ=±i√(k/m) よって、x=Aexp[iωt]+Bexp[-iωt] になりました。 初期条件で 0=A+Bとなり B=-A よって、 x=Aexp[iωt]-Aexp[-iωt] exp[iωt]=cos(ωt)+isin(ωt) exp[-iωt]=cos(ωt)-isin(ωt) より x=A*i2sin(ωt) x=Asin(ωt+δ) になりません。 どなたか教えてください。
- ベストアンサー
- 物理学
- 振動
｜ つりあいの位置 ｜ k 壁｜／＼／＼／＼／＼／ー○ ｜ :→ ｍ ｜ : x これは机の上に置かれた球とばねを上から見た図であり、 球と壁はばねで繋がれているため、球はばねによってxの方向に振動する 球の質量をｍ、ばね定数をkとする。ここでは簡単のため球と机の抵抗はないものとする。 このときの球の振動について考えてみよう。 問題１、 つりあいの位置を原点とし質点の変位(ばねの伸び)をxとするとき、 質点がばねから受ける力Fを示せ。 次に運動方程式について考える。まず力Fを受ける質点の運動方程式は ma=F ・・・(1) である。ここでaは加速度を表す。また加速度は質点の変位を時刻tで 二回微分した関数である。つまり、 a=dの2乗x/dtの2乗 ・・・(2) である。 問題２、質点の運動方程式をｍ,x,kを用いて表せ。 今質量ｍとばね定数kが与えられているとすると問題２で求めた方程式では、tの関数x(t)は未知である。 このように未知の関数の微分を含む方程式を微分方程式という。 問題３ 関数 x(t)=C1coswt+C2sinwt ・・(3) が問題２の式を満たすようにwを決定せよ。 つまり関数x(t)=C1coswt+C2sinwtは問題２の微分方程式の解となる。 まだC1とC2の値を決めていないが、C1,C2がどのような値でも、 式(3)は微分方程式の解となることがわかる。このように、微分方程式は無数の解を持ち、解を一つ決定するためには他の基準が必要となる。 問題４ 手で球をx=aの位置で固定させておき、時刻t=0で手を離した。 解x(t)を決定せよ。 （ヒント：ｔ=0のとき速度dx/dtは0） このように時刻0での状態により解が一つ決定する。 問題４で求めた解x(t)は時刻tでの質点の位置を表す。 何方か助けて下さい。高校で物理とってなかったので分かりません。
- 締切済み
- 数学・算数
- 減衰振動の計算
m d^2x/dt^2 = -mω^2x + 2mγdx/dt 上記のように速さに比例する抵抗力があり、γは定数である以下の問いに答えよ 問1 式に間違いがある直しなさい m d^2x/dt^2 = -mw^2x - 2mγdx/dt 問2 一般解を求める為、x=e^ptとおいてpをωとγを用いて表せ mp^2e^pt = ^mw^2e^pt - 2mγpe^pt から p^2+2γp+ω^2=0 解の公式より P = -γ±√r^2-ω^2 までは理解して自力で求められました。あってるかはわかりませんが。 その後に 問題A:γ^2<ω^2なら周期的な特殊な振動を行う。この時の一般解を記し、更に名称を示せ。 問題B: Aでの振動の周期Tをωとγを用いて示せ。 というものがどういう風に計算していいかもわかりません。 答えだけ知っていてこれは減衰振動であって最終的にT=2π/√ω^2＋γ^2になるらしいのですがわかりません。 丁寧な解法と解説お願いします。
- ベストアンサー
- 物理学
- 微分方程式の問題です。x''=a*x*cos(ωt)
微分方程式の問題です。x''=a*x*cos(ωt) 初めて質問させて頂きます。 a、ωは定数、x=x(t)として、2階の微分方程式x''=a*x*cos(ωt)が解けません。 初期条件をx(0)=x0, x'(0)=vx0としたとき、これには解析的な解はあるのでしょうか? 私なりに考えたのは、 x''=x*exp(iωt) と拡張、s=exp(iωt)と変数変換 (x=x(s))して、 s*x''+x'+(a/ω^2)*x=0 s*x''+x'+k*x=0 (k=(a/w^2)と置く) とし、最後は級数展開という方法...ですが自信がありません。 元の方程式が(見た目は)シンプルですので、もしかしたら解析的な解をご存知の方が いらっしゃるかもしれないと思い質問させて頂いた次第です。 私は物理屋ですので、なるべく純粋数学的な表現は避けて頂けると幸いです。 よろしくお願い致します。
- ベストアンサー
- 物理学
