部分分数分解について

質問

F(x)=1/(s^2+3)^2
を部分分数分解法で解く問題ですが、

A/(s^2+3)+B/(s^2+3)^2

という風に書きなおすこができると言われましたが、この後の計算方法が分かりません。分かりやすくお願いします！！

回答No.3

alice_38

A/(s^2+3) + B/(s^2+3)^2 という形では、
まだ、分解しきれていません。

部分分数分解をせよと言うのなら、
1/(s^2+3)^2
= A/(s+i√3) +B/(s+i√3)^2 +C/(s-i√3) +D/(s-i√3)^2
の間違いではないでしょうか？
これなら、F(s) = 1/(s^2+3) の分子が 1 でも、
不自然はありません。

あるいは、
1/(s^2+3) = A/(s+i√3) +B/(s-i√3) と置いて
#2 と同様にすれば、
A = -B = i/(2√3) が求まります。
これを使って…

両辺を 2 乗して、
1/(s^2+3)^2
= (A^2)/(s+i√3)^2 +2AB/(s^2+3) +(B^2)/(s-i√3)^2
= -(1/12)/(s+i√3)^2 +(1/6)/(s^2+3) -(1/12)/(s-i√3)^2

これに、上の式を再度代入すれば、
1/(s^2+3)^2
= -(1/12)/(s+i√3)^2 + (1/6){ A/(s+i√3) +B/(s-i√3) } -(1/12)/(s-i√3)^2
= -(1/12)/(s+i√3)^2 + (1/36)(i√3)/(s+i√3) -(1/36)(i√3)/(s-i√3) -(1/12)/(s-i√3)^2
と解ります。

因みに、i は、虚数単位 √(-1) の意味です。

お礼

虚数を使うのですか・・・考え及びませんでした。
ありがとうございます！！

回答No.2

info22

#1です。

良くわかって見えないようなので
例をあげます。
F(s)=s^2/(s^2+3)^2
とすると
F(s)=A/(s^2+3)+B/(s^2+s)^2
とおくと (s^2+3)^2を両辺にかけて
s^2=A(s^2+3)+B
sの恒等式と見做してsのべき乗の係数を比較して
1=A, 0=3A+B
これを解いて A=1,B=-3
従って
F(s)=1/(s^2+3)-3/(s^2+3)^2
といった具合に部分分数展開します。

回答No.1

info22

>F(x)=1/(s^2+3)^2
F(x)はF(s)ですね？

F(s)の式は合っていますか？
あるいは部分分数展開形が合っていますか？

そうでないと
F(s)が展開形の第二項と同じになっていますので
A=0,B=1となって部分分数展開する意味がなくなってしまいます。