- 締切済み
群環の一般的な定義とは?
(R,+,・)を可換環(単位的環とは限らない),(G,*)を半群(一般的に群ではなく半群とする)とすると,GにはR左加群が定義できる。 次に,時,A≠φを集合とし単射f:G→Aに於いて, ☆:f(A)×f(A)→f(A)をf(x)☆f(y):=f(x*y)と定義し, ∀r,s,t∈R,∀f(x),f(y),f(z)∈f(G)に対して, (s・f(x))☆f(y)=s・(f(x)☆f(y))=f(x)☆(s・f(y))と定義する。 この時,(A,☆)はR上の多元環になる。 この時の(A,☆)をGのR上の群環と呼び,R[G]と書く。 と解釈したのですが某書に「R[G]は厳密にはGからRへの写像全体として定義される」 と載っていたのですがこれはどういう事でしょうか? R[G]の定義はR[G]:={f;Aは集合,f:G→Aは単射,多元環を満たす写像☆が存在する}とも解釈してみたのですが。。。
- Fumie_0515
- お礼率71% (41/57)
- 数学・算数
- 回答数2
- ありがとう数2
- みんなの回答 (2)
- 専門家の回答
みんなの回答
- muturajcp
- ベストアンサー率78% (505/644)
(R,+,*)を単位元をもつ可換環,(G,*)を群とする A={g:G→R|写像全体}=R^G,0≠1∈R +:A×A→A,(h+g)(x)=h(x)+g(x) *:R×A→A,(r*g)(x)=r*g(x) とするとAはR加群となる x∈G に対して u(x):G→R,(u(x)(x)=1∈R)&(x≠z∈G→u(x)(z)=0∈R)) とすると u(x)∈A=R^G {x,y}∈G,u(x)=u(y)→ 1=u(x)(x)=u(y)(x)→ x=y だから u:G→A は単射となる。 g∈A→g=?_{x∈G}g(x)u(x) となる u(G)×u(G)⊂A×A で ☆:u(G)×u(G)→u(G) をu(x)☆u(y):=u(x*y) と定義し, ∀r,s,t∈R,∀u(x),u(y),u(z)∈f(G)に対して, (s・u(x))☆u(y)=s・(u(x)☆u(y))=u(x)☆(s・u(y))と定義する ☆:A×A→A , (g☆h)(z)=?_{xy=z}g(x)h(y) と定義を拡張できる この時(A,☆)はR上の多元環になる. この時(A,☆)をGのR上の群環と呼びR[G]と書く. ☆:f(A)×f(A)→f(A) は誤りで ☆:f(G)×f(G)→f(G) が正しいです。(上ではfではなくuとしています)
- Tacosan
- ベストアンサー率23% (3656/15482)
えぇと, じっと見てみると「(A,☆)はR上の多元環になる。」のあたりの定義が混乱しているように感じられます. 例えば f: G→A と書いていますが, この A は「R でも G でもない一般の集合」でいいのですか? そして, そう解釈するとそのあとの 「☆:f(A)×f(A)→f(A)」 が無意味 (A は G とは異なるので f(A) が定義されていない) です. wikipedia の「群環」の項目は参考になる?
関連するQ&A
- 単射の定義
基本的な質問です. 数学の本のいくつかの本に単射の定義が出ていました. 集合GとG'の間に写像fがあり,Gの点x,yのそれぞれ写像の点,x',y'があるときx≠yであるとき,x'≠y'であるとき単射であるという. この定義には,写像fが一価であることを定義の要件として必ずしも明示されていない(一価であるのならばこのような定義は入らない)ようなので,次のように考えた場合矛盾があるでしょうか.いいかえれば,単射の定義としては,x≠yであるとき,x'≠y'であるだけでなく,逆のx'≠y'であるときx≠yの条件も併せてつけるべきではないでしょうか. Gの点xに対して,x1',x2'が,yに対して,y1',y2'に対応し,x≠yであるとき,x1',x2y1',y2'がいずれも異なる場合の写像は,上の定義だと単射といえるのではないでしょうか
- 締切済み
- 数学・算数
- 合成写像(元の定義域)
集合XからYへの写像をf、集合YからZへの写像をgとする。 合成写像(f・g)(x)を考えるとき、Z⊂Xでなければならない理由がわかりません。 教えてください。 g(x)はYからZへの写像です。fはXからYへの写像ですから、Zはfの定義域(X)に含まれていなくてはならないのですが、Z⊆Xでもよい気がするのですがいかがでしょうか?
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 幾何学の問題がわかりません。
fを集合Xから集合Yへの写像、gを集合Yから集合Zへの写像とする。つぎを証明せよ。 1、fおよびgが単射ならばfとgの合成gfも単射である。 2、fおよびgが全射ならばfとgの合成gfも全射である。 3、|X|<_|Y|で||<_|Z|ならば|X|<_|Z|である。 この問題が分からないのですが教えて頂けないでしょうか。
- 締切済み
- 数学・算数
- 自然数の定義はこれで正しい?
自然数の定義を知りたく思っております。 Peanoの公理というものを見つけました。いちいちよく分かりませんでしたが 集合A(≠φ)に対し, {f:写像 ; 「fは単射」,且つ,「f(A)\Aの元はただ一つでそれをeで表す」,且つ,「{S(⊂A) ; e∈S,f(S)⊂S}={A}}≠φ の時、Aを(fとeに関しての)自然数の集合といい、Aの元を自然数という。 言い換えれば、 集合A(≠φ)に対し, (i) fは単射 (ii) f(A)\Aの元はただ一つでそれをeで表す (iii) {S(⊂A) ; e∈S,f(S)⊂S}={A} なる写像fが採れる時、Aを(fとeに関しての)自然数の集合といい、Aの元を自然数という。 このようなAは複数(無数)取れるが構造(体系?)が同じものを同一視すればこのような集合はただ一つしか存在しない。 この時、Aを(ゴシック体の)Nで表す。 と自分なりに解釈したのですが正しいでしょうか?
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 環の準同型写像について
R,R'を環とします. 写像Φ:R→R'が任意のRの元x,yに対して Φ(x+y)=Φ(x)Φ(y) Φ(xy)=Φ(x)Φ(y) を満たすとき,Φを環における準同型写像といいますが,具体的にはどのような写像が考えられるのでしょうか? 出来ればΦが全単射になるもの,すなわちRとR'が環として同型となるようなものを教えていただけると助かります. これが分からないために上手い例を考えられず困っています. 詳しい方よろしくお願いします.
- 締切済み
- 数学・算数
- f:X→Y, g:Y→Xを集合Xと集合Yの間の写像
f:X→Y, g:Y→Xを集合Xと集合Yの間の写像とし、g⚪︎f:X→X、f⚪︎g:Y→Yをそれらの写像の合成写像とする。次の記述1から5について、 1:gが全射ならば、g⚪︎fは全射である。 2:g⚪︎fが全射ならば、fは全射である。 3:g⚪︎fが単射ならば、gは単射である。 4:Yが有限集合で、g⚪︎fとf⚪︎gが全射ならば、fは全単射である。 5:f⚪︎gが全単射ならば、g⚪︎fは全単射である。 常に正しいのは4であるそうですが、その理由がわかりません。どなたか教えて下さいませんか。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 空集合は半群になる?
写像の定義から map f:φ×φ→φ という写像fは存在しますよね(φ×φ=φなので)。 それで半群の定義は x,y,z∈φ⇒(xy)z=x(yz) であり、これの十分条件は偽なので x,y,z∈φ⇒(xy)z=x(yz) は真となりますよね。 従って、空集合は半群をなす。。。 これは間違ってますでしょうか?
- ベストアンサー
- 数学・算数