[数検1級1次]複素数解を含めた連立方程式の解
- 数検1級1次の問題について、複素数解を含む連立方程式の解について解説します。
- 問題文において、複素数解が求まらなかった場合の場合分けについて説明します。
- 模範解答では、複素数解を求めるために、cos(k/7)π+sin(k/7)π=ω(k)の式を用いてω(k)を求めています。
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[数検1級1次]複素数解を含めた連立方程式の解
添付写真の問題についてです。 まず自分は 一番目の式より y=-x^2 二番目の式より z=-y^2=-(-x^2)^2=-x^4 3番目の式より (-x^4)^2+x=0 x^8+x=0 x(x^7+1)=0 ここからは ----- (1)x=0のとき (2)x^7+1=0のとき ----- で場合わけしました。 しかし(2)のときに複素数解が求まりませんでした。 模範解答では、 (2)で、 cos(k/7)π+sin(k/7)π=ω(k) として、 (ω(1)、ω(4)、ω(11))、 (ω(3)、ω(13)、ω(5))、 (ω(5)、ω(3)、ω(13))、 (ω(9)、ω(11)、ω(1))、 (ω(11)、ω(1)、ω(9))、 (ω(13)、ω(5)、ω(3))、 (-1、-1、-1) を求めています。 ただし、 cos(k/7)π+sin(k/7)π=ω(k) のω(k)の(k)はωの添え字です。 場合分け(2)からが解らないのですが、どのようにしているのですか?
- danny0207
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#2 です。 (2) を実数の計算に翻訳する部分を書いておきましょう。 x = exp(iθ) を x^7 + 1 = 0 へ代入すると、 式を整理して ((r^7)cos(7θ) + 1) + i (r^7)sin(7θ) = 0。 実部、虚部を各々両辺で比較して、 (r^7)cos(7θ) = -1 かつ (r^7)sin(7θ) = 0 となります。 sin(7θ) = 0 より |cos(7θ)| = 1 であることに注意すれば、 解は、r = 1, cos(7θ) = -1, sin(7θ) = 0 となるもの しかないことが分かります。 よって、7θ = π + 2nπ (n は任意の整数) です。 θ = (2π/7)×(任意の奇数) の間違いでしたね。失礼。
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- info22
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>模範解答では、 >(2)で、 >cos(k/7)π+sin(k/7)π=ω(k) これは誤答ですね。iを虚数単位として cos(k/7)π+i*sin(k/7)π=ω(k) …(■) となります。 >(2)x^7+1=0のとき x^7+1=0 x^7=-1=e^{i(π+2(n-1)π)} x=e^[i{(π/7)+(2(n-1)π/7)}] =cos{(2n-1)π/7}+i*sin{(2n-1)π/7} =ω(2n-1) (n=1,2,3,4,5,6,7) (■)のω(k)に対応させると k=2n-1 ただし,ω(k+7m)=ω(k)(mは整数),ω(7)=-1 y=-x^2=e^(iπ)*e^[i2{(π/7)+(2(n-1)π/7)}] =e^[i{(9π/7)+(4(n-1)π/7)}] =cos{(4n+5)π/7}+i*sin{(4n+5)π/7} (n=1,2,3,4,5,6,7) z=-y^2=e^(iπ)*e^[i4{(π/7)+(2(n-1)π/7)}] =e^[i{(11π/7)+(8(n-1)π/7)}] =cos{(8n+3)π/7}+i*sin{(8n+3)π/7} (n=1,2,3,4,5,6,7) n=1(k=1)の時 (ω(1),ω(5),ω(6)), n=2(k=3)の時 (ω(3),ω(7),ω(3)), n=3(k=5)の時 (ω(5), ... , ...), n=4(k=7)の時 (ω(7),ω(7),ω(7))=(-1,-1,-1), n=5(k=9)の時 (ω(2), ... , ...), n=6(k=11)の時 (ω(4), ... , ...), n=7(k=13)の時 (ω(6), ... , ...) 途中のω( )は出来ると思いますのでやってみてください。 >ただし、 >cos(k/7)π+sin(k/7)π=ω(k) これは模範解答のミスでしょう。 正しくは cos(k/7)π+i*sin(k/7)π=ω(k) です。 >のω(k)の(k)はωの添え字です。
- alice_38
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模範解答の式は、sin に係数 i が掛かっていた ことと思います。 i は、虚数単位です。 x = r exp(iθ) r は r ≧ 0 の実数 θ は 0 ≦ θ < 2π の実数 と極座標表示してみると、 (2) が実数の計算に翻訳できて、 r = 1 θ = (2π/7)×(任意の整数) と解けます。 これを x の値に戻して、整理して書き出せば、 模範解答のようになります。
- nag0720
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複素平面上に単位円を書いてください。 x^7+1=0 の解の一つは、x=-1 あとの6個は、複素平面上の-1を、1/7づつ回転した位置の複素数です。
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