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無理数解の方程式

３次方程式　ｘ＾３－ｎｘ＋１＝０　のすべての解が無理数となる整数ｎの値を求めよ。 　 　ｎ＞＝３であることが、必要条件であるところまではすぐに分かるが、無理数という条件をどう使えって処理していくのか、方針が分かりません。よいアイデアをよろしくお願いします。

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  • Tacosan
  • ベストアンサー率23% (3656/15482)
回答No.2

一般に整数係数代数方程式において有理数解は「±定数項の約数/最高次の係数の約数」という形にしかなりません. そして, 今の場合は定数項・最高次の係数がいずれも 1 ですから, 有理数解の候補は ±1 だけです. つまり「±1 のどちらも解とならない」ような n は全て条件を満たします.... えぇと, 複素数は「無理数」に入れる?

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質問者

補足

虚数解をもたないとなると、ｎの値も狭まることになるが、その先はどうなるのでしょうか・・・・

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その他の回答 (2)

  • Tacosan
  • ベストアンサー率23% (3656/15482)
回答No.3

この方程式を変形すると x^3+1 = nx となる. 3実解を持つためには 2つの関数 y = x^3+1, y = nx が 3点で交わることが必要だが, グラフを描けば自明なようにこれは「y = nx が y = x^3+1 の接線となる」ような n より大きければいい.

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質問者

お礼

{実数解}－｛有理数解｝＝｛無理数解｝ということですね。 言われればなるほどです。ありがとうございました。

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  • nag0720
  • ベストアンサー率58% (1093/1860)
回答No.1

もし、有理数の解が存在するとして、それをa/bとすると（b>0,aとbは互いに素） a^3/b^3-na/b+1=0 n=a^2/b^2+b/a=(a^3+b^3)/(ab^2) nが整数となるためには、これを満たす値は、 a=1、b=1、n=2 a=-1、b=1、n=0 の２通りしかありません。

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