近似式の導出が出来ません、どなたか助けてください

質問

Lλ＝DR（2sinθ/tan2θ）の近似式として
Lλ＝DR〔1-(3/8)*(R/L)^2〕の関係があるらしいのですが、どうしても一番目の式から二番目の式が導けません
どなたか計算過程を教えていただけないでしょうか？
ちなみにλ、Dは定数で、R＝L*tan2θの関係があります
θは0～90°までです
よろしくお願いします

回答No.1

mmky · ベストアンサー

参考程度に

R＝L*tan2θ
x=R/L
2θ=arctan(x)
θ=(1/2)arctan(x)
2sinθ/tan2θ=(2sin((1/2)arctan(x))/x）
2sinθ/x≒2{θ-θ＾3/3!}/x
θ=(1/2)arctan(x)≒(1/2){x-x＾3/3｝
の近似を代入すると、
=2{(1/2){x-x＾3/3}-2*{(1/2){x-x＾3/3}}＾3/6}/x
={1-x＾2/3}-(1/8*3)x＾2{1-x＾2/3}＾3
≒{1-x＾2/3}-(1/8*3)x＾2=1-(1/3)(1+1/8)x＾2
=1-(1/3)(9/8)x＾2={1-(3/8)x＾2}
={1-(3/8)(R/L)＾2}
ということで、確かに
（2sinθ/tan2θ）≒{1-(3/8)(R/L)＾2}
として近似できますね。

お礼

大変よく分かりました、どうもありがとうございました。