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アフィン空間 集合 一次結合
アフィン空間について調べている際に、線形空間は、任意の一次結合について閉じていなければならないが、 アフィン空間は、係数の和が1である場合にだけ閉じていれば良い。 つまり線形空間1はアフィン空間である。 という説明がありました。 一次結合について閉じていなければならないというのは、 （Vを実数上の線形空間とし、Rを実数事全体とすると） Vのｒ個のベクトルA1，・・・Arの線形結合は K1A1+・・・KrAr （K1，・・・Kr∈R） Rは実数全体なので、閉じているということは理解できます。 係数の和が1ということは、K1+・・・Kr=1ということですよね。 なぜ、係数の和が1の線形空間はアフィン空間となるのでしょうか？ ちなみに、アフィン空間はユークリッド空間から長さや角度などと言った計量の概念を取り除いた空間であると認識しています。
- RY0U
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- arrysthmia
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←No.1 補足 ベクトル空間に、内積が定義されていようと、いまいと、 ベクトル空間であることには、変わりはありませんね。 内積が定義された有限次元ベクトル空間のことを、 ユークリッド空間と呼ぶのです。 計量とは、ベクトル x の軌跡である曲線の長さが 積分 ∫√{ (dx の転置) G dx } で表されるような 行列 G (ただし、各成分は x の関数) のことを言います。 x がアフィン空間にあれば、dx はベクトルになりますから、 そのベクトル空間上に何らかの計量を定義すれば、 x のアフィン空間は、計量を持つアフィン空間ということに なるでしょう。 計量の有無は、アフィン空間であるか否かと関係ありません。
>なぜ、係数の和が1の線形空間はアフィン空間となるのでしょうか？ 「なぜ」と訊かれると答えに窮しますが、説明だけでも引用。 http://en.wikipedia.org/wiki/Affine_space >Affine space / Informal descriptions からの拙訳 ↓ 厳密な定義よりは、下記の説明のほうが判りやすい。 「アフィン空間とは、(座標)原点をシカとたベクトル空間である」 (数理物理学者 John Baez) 原点からのベクトル p, a, b を想定し、p から a, p から b へ向かう二つのベクトル a', b' の一次結合を考えれば、 原点からみれば p + h1*(a-p) + h2*(b-p) 。 これは、p, a, b の一次結合で係数和が 1 。 つまり、アフィン結合は係数和が 1 の線形結合。 (注 : この例は、平面<部分空間>を p だけ移動した「超平面」ですね) このあとに、[Precise definition] が続きます。 ご参照のほどを。
お礼
お礼が遅れて申し訳ありません。 ご回答ありがとうございます。 ＞「アフィン空間とは、(座標)原点をシカとたベクトル空間である」 大変わかりやすかったです。
- arrysthmia
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係数の和が 1 の一次結合について閉じている 空間がアフィン空間である理由は、 何故も何も、それがアフィン空間の定義だからです。 アフィン空間とは、大雑把な話、 部分線型空間を平行移動したような物ですから、 計量は、定義されていても構いません。 線型空間に、計量がある場合も無い場合もある のと同様です。 ユークリッド空間から計量を取り去ったら、 残るのは、ただの有限次元ベクトル空間ですよ。
お礼
ご回答ありがとうございます。 なるほど、定義と言われれば納得です。 一次結合の和＝1が何か重要な概念なのかと思ったものですから。失礼しました。 ところで、先の計量を取り去るという説明はWikiを参照させて頂いたのですが、アフィン空間でも計量がある場合があるということですね。 そうするとアフィン空間がよく分からないです・・・ ユークリッド空間からアフィン空間を説明することは出来ないでしょうか？ また、ユークリッド空間で計量が無い場合も良く分かりません・・・ 計量を無くしたほうが都合が良い場合があるという事でしょうか？ 幼稚な質問で申し訳ないですm(__)m
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