回転円板が摩擦により静止するまでの時間

質問

「質量M、半径aの厚さおよび密度が一様な円板を水平で平らな床の上におき、中心軸の周りに角速度ωで
回転させた場合、静止するまでにかかる時間を求めよ。ただし動摩擦係数、重力加速度はμ,gとする。」
運動方程式をたてて、変数分離をし積分するといったおおまかの方針は分かったのですが、肝心の方程式が立てれないのでどなたかお願いします。

回答No.1

tgb

慣性モーメントIと質量ｍ、角速度ωと速度ｖ、の置き換えをすれば、
「動摩擦係数、重力加速度はμ,gとするとき、初速ｖを与えた質量ｍの物体が静止するまでの時間を求める問題」
と同様に解けます。

１）質量ｍ、半径ａの円盤(円柱)の慣性モーメントＩが求められます。
２）上の問題で減速の加速度を摩擦の関係から求められるように、回転の場合も
減速の角加速度を摩擦から求められます。回転速度を減速させるモーメントＭを計算すると
半径ｒの位置における微小面積ｄＳにおける垂直抗力をｄＷとするとこの垂直抗力による摩擦力は接触面内で大きさが一定であり(運動中においても一定)、接線方向に作用するので
ｄＭ＝ｒμｄＷ＝μｒｋｄＳ＝μｒｋ・2πｒｄｒ
ｒ＝０からａまで積分すればＭが求まります。
３）Ｍが求まれば減速の角加速度が求まり、静止までの時間が求まります。

「」内の考え方と２）の減速のモーメントの計算がこの問題のポイントとなると思いますのでよく考えてみてください。