ベクトルの問題が解けません

質問

＊矢印（→）は文字の上の矢印を示します。

三角形OABにおいて　→OA＝→a、→OB＝→ｂとおく。辺ABを|→a|:|→b|に内分する点をDとし∠AOD=α、∠BOD=βとするときcosα＝cosβであることを証明せよ。

cosα=→a・→OD/|→a||→OD|と同様にcosβにも内積の公式をつかうことはわかるのですが、それ以降がわかりません。
見にくい表記で申し訳ありませんがよろしくお願いします。

回答No.6

noname#101087 · ベストアンサー

ベクトル算です。文字上の矢印(→)は省きます。

まず辺AB の内分。
　k = |b|/(|a|+|b|)　→　k|a| = (1-k)|b|　　　… ※
　d = ka + (1-k)b

内積 ( * ) の勘定から。
　(a*d) = |a||d|cosα = k|a|^2 + (1-k)|b||d|cos(α+β)
　(b*d) = |b||d|cosβ = (1-k)|b|^2 + k|a||b|cos(α+β)
※ k|a| = (1-k)|b| が成立つので、
　|d|cosα = k|a| + k|d|cos(α+β)
　|d|cosβ = k|a| + k|d|cos(α+β)
つまり、cosα＝cosβが成立。

回答No.5

naniwacchi

#4の方が言われているとおり、角の二等分線定理の逆を示そうとしている問題だと思います。
（内分比が辺の比ならば、角は二等分されていることを示す）

内積を使うところまではいいと思います。
→ODを→aと→bで素直に表してみてください（内分点）。
それを cosα、cosβの式にそれぞれ代入すれば・・・

cosα＝cosβが示されると、0＜α＜π、0＜β＜πよりα＝βであることを示すことができます。

回答No.4

info22

#1です。
補足です。

参考URLの角の２等分線定理が成り立っている場合です。
URLの頂点の記号は
URLのAが問題のO
URLのBが問題のA
URLのCが問題のB
に対応します。
なので
当然∠AOD=∠BODなのでcosα＝cosβが成り立っています。

これをベクトルを使って証明すれば良いかと思います。

参考URL：

http://kurihara.sansu.org/theory/kaku2bun.html

回答No.3

sono0315

角を二等分したとすると
0A:OB=AD:BD
であるから。

逆に
0A:OB=AD:BDであるから、
角が二等分されていると考えるとベクトルの考えはいらない
かもしれませんね

回答No.2

shippo_ppk

三角形ODA、ODBの面積を Sa、Sb とすると、その面積比は
Sa : S b = |a|:|b|
です。
この比 Sa : S b を内積で表わしたら、どうなりますか？

回答No.1

info22

>　cosα=→a・→OD/|→a||→OD|と同様にcosβにも内積の公式をつかうことはわかるのですが、それ以降がわかりません。

やった所までの証明を補足に書いていただかないとチェックできません。そしてどこで何につまずいているのかを書いて下さい。