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中３で習う三角形の面積比の証明をしてください！！
三角形ABCのAB上にM、AC上にNをとり、MNを結ぶ。 すると、三角形ABC：三角形AMN＝AC×AB：AN×AM となりますよね。 角Aが共通角になっているときの、相似ではない定理です。 これを証明したいのですが、どんなに頑張っても分かりません。 どなたか教えていただけませんでしょうか？
- kimura0510
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- keiryu
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♯1、♯2にもう少し丁寧に解説を試みると、 ＢＮを補助線で結び、3つに分かれた部分の面積をＳ1、Ｓ2、Ｓ3とすると、Ｓ1：Ｓ2＝ＡＭ：ＭＢで、Ｓ1＝Ｓ2×（ＡＭ/ＭＢ） （Ｓ1＋Ｓ2）：Ｓ3を同様に求める。 この二つの式から、Ｓ1とＳ3をＳ2を使って表す。 求めるのは、Ｓ1：（Ｓ1＋Ｓ2＋Ｓ3）だから、これを全て上のＳ2を使って表し、文字の計算を根気強くやれば、最終的に目的の式に行き着きます。 力勝負で、少々、エレガントさには欠けますが、中学生だったらこの方法が分かりよいかもしれません。夏の勉強頑張ってください。
- naniwacchi
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#1の方の回答がエッセンスですね。 点Ｂと点Ｎ（または、点Ｃと点Ｍ）を補助線として結んでください。 すると、底辺の長さの比を用いることができます。 定理としなくても、この方法だけをしっかり抑えておくのがポイントだと思います。
お礼
アドバイスありがとうございますっっ！ なんかわかったかもしれません。 △AMN＝△ABC×（AN/AC)(AM/AB) △AMN×AC×AB＝△ABC×AN×AM △AMN：△ABC＝AN×AM：AC×AB ってことですね？？？？♪ でもあってるのかな？
２つの三角形において、高さが同じである場合、 ２つの底辺の比は、面積比に等しくなる。 また、 △ABN は △AMN × ( AB / AM ) であることが納得できるかどうかが前提となります。
お礼
回答有難うございます！！ △ABN＝△AMN×（AB/AM）は分かります。 △ABN：△AMN＝AB:AMからですよね。 高さが同じである場合、 ２つの底辺の比は、面積比に等しくなる。というのも理解しています。 ですが、そのことがこの証明につながりません(;￫д￩)。。
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お礼
スゴィわかりやすいっっ！！完全に理解できました☆ ありがとうございます！！！ とっても助かりました！世の中には頭のいい人が多いですね～♪ ありがとでした☆☆