点Xが平面Π上にあるための必要十分条件

質問

下記の小文字アルファベットはtとsとuとdet以外全てベクトルです。

空間の原点をOとし、同一直線上にない3点　P,Q,Rの位置ベクトルを
p,q,rとする。またその3点を通る平面をΠとする。
点Xの位置ベクトルをxとする。次の３条件はいずれも点Xが平面Π上に
あるための必要十分条件であることの証明

「(1)x=p+(q-p)t+(r-p)s (t,sは整数)
　(2)det[x-p,q-p,r-p]=0
　(3)(x-p)・((q-p)×(r-p))=0　　　　　　　　」

(1)は,x=up+tq+sr (u=1-t-s)
より、u+t+s=1
から、証明できたのですが、
(2)はdet[x,q,r]-det[p,p,p]と分けるのでしょうか？
その後の解き方が分かりません。
(3)は内積があるのでcosを使いますか？

この場合の必要十分条件というのは、
どういう意味なのかも教えて頂けないでしょうか？

回答No.1

rnakamra · ベストアンサー

(2)一番簡単な方針としては(2)が(1)の必要十分条件であることを示すこと。(1)がXがΠ上の点であることの必要十分条件ですから、上記のことが示せれば(2)がXがΠ上の点であることの必要十分の条件であることが示せます。

>(2)はdet[x,q,r]-det[p,p,p]と分けるのでしょうか？
その式は成り立ちません。|A-B|と|A|-|B|は一致するとは限りません。
(というよりも普通は一致しない)
det[x-p,q-p,r-p]=0　とは　x-p,q-p,r-pが一次独立ではないということを意味します。つまり

s(x-p)+t(q-p)+u(r-p)=0
となるs,t,uがs=t=u=0以外にもあるということです。 (A)

それでは、(A)が成り立つときsは0となるでしょうか?もしならないとしたらこの式から(1)の式が導けるはずです。（ (2)→(1) )
(1)が成り立てば(A)は示せますね( (1)→(2) )

(3)についても同様に示せます。(1)→(3)は簡単に示せます。
(3)→(1)を示すには次のことを使えばよいでしょう。
a×b(≠0)に垂直なベクトルはsa+tbと表すことができる。 (a,bはベクトル、s,tは実数)

(1)がXが平面Π上の点であることの必要十分条件とは、
(1)が成り立つ→XがΠ上にある (十分条件)
かつ
XがΠ上にある→(1)が成り立つ (必要条件)

となることです。

もし(1)がXが平面Π上の点であることの必要十分条件であり、(2)が(1)の必要十分条件であれば

(2)→(1) かつ　(1)→XがΠ上にある　つまり (2)→XがΠ上にある
XがΠ上にある→(1) かつ (1)→(2) つまり XがΠ上にある→(2)
となり、(2)はXが平面Π上の点であることの必要十分条件となります。

お礼

適切で詳しいアドバイスありがとうございました。
おかげで悩みながらも解いていくことができました。
もっと勉強がんばろうと思います。