微分

質問

（ｄ／ｄｘ）ｘ＾ｘ　　（Ｘ＞０）

このような問題があったのですが、これを解きたいです。
とくためには、対数微分法を使わないといけないと考えました。しかし、ｙ＝の形では、対数微分法をやったことがありますが、（ｄ／ｄｘ）このような表示はどのようにやったらいいのですか？教えてください。

回答No.3

Knotopolog · ベストアンサー

（ｄ／ｄｘ）ｘ＾ｘ

の表示は，「ｘの関数 ｘ＾ｘ を ｘ で微分せよ」という意味です．
この関数を微分するには，まず， ｘ＾ｘ を

y＝x^x

とおき，dy/dx を求めればいいわけです．微分するのには，y＝x^x の両辺の
対数（自然対数）をとります．

log(y)＝log(x^x)＝xlog(x)

log(y)＝xlog(x)

この式の両辺をｘで微分すると

(y'/y)＝log(x)＋x(1/x)

(y'/y)＝log(x)＋1

y'＝y(log(x)＋1)

y'＝(x^x)(log(x)＋1)

dy/dx ＝(x^x)(log(x)＋1)

これが（ｄ／ｄｘ）ｘ＾ｘ の答えです．

お礼

わかりやす回答ありがとうございます。

回答No.4

arrysthmia

対数微分法が好きな人が多いなぁ。
受験が終わったら、公式主義は
卒業すれば？

回答No.2

arrysthmia

これが、x~x でなく f~g だったら、
自然と、合成関数の微分
(d/dx) = (d/df)(f~g)・(df/dx) + (d/dg)(f~g)・(dg/dx)
を考えますね？
ここでは、f = g = x ですから、
df/dx = dg/dx = 1 です。
それだけ。

回答No.1

info22

y=x^x=exp(xln(x))
y'=dy/dx
=exp(xln(x))*(xln(x))'
=(x^x)*(xln(x))'
=(x^x)*(ln(x)+x(1/x))
=(x^x)*(ln(x)+1)
=(x^x)*ln(xe)

ここで、eはネピア数（自然対数の底）,ln(x)はxの自然対数。

対数微分法でやるなら
ln(y)=ln(x^x)=xln(x)
xで微分
(1/y)y'=ln(x)+x(1/x)=ln(x)+1
y'=dy/dx
=y(ln(x)+1)=(x^x)(ln(x)+1)
=(x^x)ln(xe)

お礼

有難うございます。参考にさせていただきます