断熱圧縮についてです。

質問

おしえてください。
断熱圧縮で容積を1/22にした場合、23℃だった空気の温度は何度まで上がりますか!?
PV=RT
PVκ乗=Const.
を利用して解いてください。κは１．４です。
だれかわかるかたいたら教えてください。
よろしくお願いします。

回答No.3

jamf0421

>途中の計算式を教えてください！
どこを聞かれているのかしら？
(1)No1さんの数値計算？
PV^κ=const
が断熱圧縮の式になります。初めと終わりでconstだから
PiVi^κ=Pf(Vi/22)^κ
一方PiVi=R*296, PfVf=RTfです。(TfはT finalで圧縮後の温度の意味です。)そしてPfVf=PfVi/22です。よってこれからPi、Pfを解いて上の式に入れれば
(296R/Vi)*Vi^κ=(TfR/(Vi/22))*(Vi/22)^κ
296R*Vi^(κ-1)=TfR*(Vi/22)(κ-1)
Tf=296*22^(κ-1)
です。No1さんの式と何も変わりません。κ=1.4ですから、κ-1=0.4となります。22の0.4乗ですが、関数電卓でもつかえば3.443と出てきます。これに296をかければ1019 Kがでます。
(2)CpとCvの関係
Cp=Cv+L*(∂V/∂T)_p
ここでLtは体積変化の潜熱で、dQ=CvdT+LdVに由来します。
L=（∂U/∂V)_T+P
になります。理想気体の理想気体の場合、内部エネルギーは温度のみに依存するので、
L＝P
になります。すなわち
Cp=Cv+P*(∂V/∂T)_p
です。理想気体はPV=RT、即ちV=RT/Pですから(∂V/∂T)_p=R/Pとなり、結局
Cp=Cv+Rになります。
(3)比熱は熱を入れたときの温度上昇ですが、それはなんらかの吸収対象に結びついています。ガスの場合、まず３次元(x,y,z方向)を飛んでいる並進運動のエネルギーへの吸収で、これは１自由度あたり(1/2)RTのエネルギーですから温度微分すると(1/2)Rです。3つの自由度で(3/2)Rとなります。次に回転運動の寄与があります。これの寄与は単原子ではありませんが、直線分子なら互いに垂直な2つの回転軸がありますから(1/2)*2R=Rです。よってCv=(5/2)Rの寄与です。そしてCpはRを足して(7/2)Rとなります。この時Cp/Cv=7/5=1.4
です。
(4)蛇足で気になるのは振動の比熱への寄与です。これは分子の振動モードの特性温度をΘとしてH(Θ/T)で決まるもので比熱への寄与はRHです。ヨウ素(Θ=305 K)ならば296 K、1019KでそれぞれΘ/Tは1.03, 0.29となります。この時Hの値は双方とも殆ど1になります。よって初めから比熱にもう一つRが加わってCv=(7/2)R, Cp=(9/2)Rになってしまいます。
CO（Θ=3080 K)ならまた事情が違います。296 KではΘ/T=10.4でこの時H≒0ですから今度はCp/Cvは1.4になってくれます。しかし1019 KではΘ/T=3.02となりこの時Hは0.49でRH＝0.49Rになります。つまり約0.5R上乗せです。Cv=(5.5/2)R、Cp=(7.5/2)RとなりCp/Cv=1.36となりκが296 Kのところからシフトしてしまうのです。

お礼

ありがとうございます！！

回答No.2

jamf0421

導出はNo1さんのとおりで計算すれば1019K（746℃）です。蛇足ですが、理想気体ならばCp-Cv=Rですね。κ=Cp/Cv=1.4ですからCv=2.5R=(5/2)Rとなり並進運動の(3/2)Rのほかに回転の自由度がRだけあることになりますね。これは直線型の分子（２原子分子とか）を考えているのでしょうね。

お礼

途中の計算式を教えてください！

回答No.1

o-kou

ええと、断熱過程ですと、もちろん
P V^(κ)= Const. 　も利用できますが、ここでP=RT/Vを利用すると

　　P V^(κ) = TR V^(κ-1) = Const.
= T V^(κ-1) = Const. （Rは定数なのでConst.に含めた）

ですので、求めたいセ氏温度をCとすれば
　　（273+23）V^(κ-1) = (273+C) (V/22)^(κ-1)

の方程式が立ちますので、これを解けばもちろん任意のVは消えますから、Cが求まるかと思いますよ。

と、いうことですが、
一応PV＝RT及びPVκ乗=Const.を用いて解いてみましょう
ちょっと遠回りになりますけどね＾＾；

まずP V^(κ)=Const.　より圧縮前をPa　圧縮後をPbとしますと

　　　Pa V^(κ) = Pb (V/22)^(κ)　より

　　　Pb = Pa*22^(κ-1)　とおけます。　　　　　　　　・・・（1）

次に、Paを求めます。PV=RTですので、圧縮前は

　　　Pa V =　R　より

　　　Pa = （273+23） R / V となりますね。　　　　　　・・・（2）

よって（1）式に（2）を当てはめると圧縮後のPbは

　　　Pb = （273+23） R / V　*　22^(κ-1)

であるので、これを圧縮後の　PV=RTに代入すると求めたいセ氏温度をCとしまして、　T = 273+C　より

　　　Pb (V/22) = R (273+C) から

　　　(273+C) = Pb (V/22) /R

　　　　　　　= （273+23） R/V　*　22^(κ-1) * (V/22) /R

　　　　　C 　= （273+23）*　22^(κ-1)　-　273

となり、先ほどと同じような解が求まるかと思います。

お礼

すごいですね！本当にありがとうございます！
ですが、（V/22)^（κ－１）ってどうけいさんするんですかね！？