|AB|=|BA|。成り立つはずないと思うんだが。

質問

「A,Bを(n×n)型行列として、|A|,|B|をA,Bの行列式とする。
行列式の積の保存より、
|AB|=|A||B|、|BA|=|B||A|。
ここで|A||B|=|B||A|であるから、|AB|=|BA|。
さらにもっと一般的に拡張すると
(n×n)型行列A1,A2,・・・・,Amに対して
行列式の積の保存を用いて、先ほどのような概念を行うと
|A1A2・・・・Am|はどこの行列を入れ替えても値は同じである。」
一般的に行列の積は交換法則は成り立たないのに、この説明からすると
行列式はどこを交換としても一意的に決まる。
本当にそうなのでしょうか？不思議です。

回答No.3

rnakamra · ベストアンサー

行列式の意味を考えて見ましょう。
n次元空間で一次独立なベクトルa1.a2,..,anがあったとして、
これらのベクトルによって作られる平方2n面体の体積をVとすると、
Aa1,Aa2,..,Aanで作られる平方2n面体の体積は|A|Vとなります。
(符号のとり方についての詳細は省く)
要するに行列Aであらわされる一次変換で体積が|A|倍されるわけです。
ABであらわされる一次変換ではまず|B|倍された後|A|倍されるわけですので
|AB|=|A||B|
となります。逆でも同じ。

回答No.5

arrysthmia

どこが不思議なのかが不思議。

(1) |AB|=|A||B| が不思議。
(2) |A||B|=|B||A| が不思議。
(3) |AB|=|BA| までは不思議でないが、
　　「 | A1 A2 … Am | は、どこの行列を入れ替えても値は同じ」が不思議。

どれでしょう？
それによって、説明すべき事項は異なる。

回答No.4

koko_u_u

>これもそうだというのでしょうか？

そうはなりません。が、様々なことを考えるのが重要です。

「体積」を用いた説明は直感的ですが、ｎ次元空間の体積の定義やその性質が、
我々の知る 3次元空間のそれと同じであるか、数学的には明らかではありませんし、
しばしば循環論法に陥いるので注意しましょう。

回答No.2

Tacosan

えぇと.... 言っていることがよくわからないんだけどなぁ....
だって, 「異なる行列が同じ行列式を持つ」ことそのものは珍しくもなんともないよね. だから, 「一般的に行列の積は交換法則は成り立たない」とはいえ, これが行列式に対して同様に成り立つことは意味しないよね.
しかも「積の行列式が行列式の積」を認めるなら, 「積の順序をどう入れ替えても行列式は同じ」というのは当然に認めざるをえないのでは?
ついでにいうと「A1 A2 ... Am = O」だからといって「順序をどのように入れ替えても O」とならないこともまた自明. 言えるのは「行列式が 0」ということだけだ.

お礼

補足のところが勘違いしてすみません。そこは間違えました。

回答No.1

koko_u_u

>本当にそうなのでしょうか？不思議です。

そうなのです。不思議ですね。その発想は重要です。

補足

感想ありがとうございました。この説明から補題として考慮すると
「A1,A2,・・・・Amを(n×n)型行列として
行列の積A1A2・・・・Am=０ならば、どこを交換しても
この場合、積の交換法則も成り立ち０になる。」

これもそうだというのでしょうか？
本当気になっておもしろいです。