【量子力学】エルミート共役と複素共役など

質問

量子力学が相変わらず難しすぎて、どこがわからないのかわからないという状況なのですが、
少し糸口になりそうな部分がわかったような気がするので質問させて頂きます。

複素共役を考えると、ブラケットでは、例えば
　（１）　（＜ψ｜Ａ｜φ＞）^*　＝　＜φ｜Ａ^†｜ψ＞
となり、同じものを波動関数の式では
　（２）　｛∫ψ^*Ａφdx｝^*　＝　∫φ^*Ａψdx　（全空間で積分ということでdxとしています）
のように書かれると思うのですが、エルミート共役はどのようになるのでしょうか？
　（３）　（＜ψ｜Ａ｜φ＞）^†　＝　？
　（４）　｛∫ψ^*Ａφdx｝^†　＝　？
という意味です。
私が今思っていることとしては、「内積をとった（ブラケットが閉じた）もの全体に対するエルミート共役」
という概念を考えること自体がおかしいのではないか、などと考えているのですが…。また逆に、
　（５）　｛Ａ｜ψ＞｝^†　＝　＜ψ｜Ａ^†
　（６）　｛Ａ｜ψ＞｝^*　＝　？
という疑問や、更にこれを波動関数の式（(2)みたいな式のことです。何と呼ぶのかわからない…。）で書くとどうなるのか、
などなど、もう何も分かってない気がしてきます（＾＾；；

とりあえず質問は上記の通りなのですが、（２）のような表記の意味がどうにもよくわからっていないというのが正直なトコロです。。
ブラケットなどの行列力学のような書き方は比較的しっくり来るのですが…。
波動関数というもの自体が、「関数だからベクトルじゃないの？？」とか、
「順序とか関係なく、[ψ,φ]＝０でいいの？？」とか…。もうなんだか混乱しすぎ…orz
という感じなので、どうかお救い下さい。

恐らく質問文が既にいろいろ間違ってたりするのでしょうが、何とか汲み取ってご教授くだされば幸いです。
いろいろ質問が多くなってしまいましたが、よろしくお願い致します。

回答No.3

Akira_Oji

回答者Ｎｏ．１　ａｎｄ　２のＡｋｉｒａ＿Ｏｊｉです。ちょっと、間違ったことを書いてしまったのでＤｉｒａｃやその他の教科書をみて、詳細部を直してもらえればいいのですが、間違っていた部分は以下の通り

間違い「運動量がｐ’で指定されるような状態｜ｇ＞の場合は
＜p｜g＞＝ｇ（ｐ）＝A*Exp｛ｊ(p-p')｝
のような平面波の形になります。」

訂正「運動量がｐ’で指定されるような状態｜ｇ＞の場合の運動量表示での波動関数は
＜ｐ｜ｇ＞＝Ｄｅｌｔａ（ｐ－ｐ’）
ですが、
運動量がｐ’で指定されるような状態｜ｇ＞の場合の座標表示は、
＜ｘ｜ｇ＞
＝Ｉｎｔｅｇｒａｌ　＜ｘ｜ｐ＞ｄｐ＜ｐ｜ｇ＞
＝Ｉｎｔｅｇｒａｌ＜ｘ｜ｐ＞ｄｐ　Ｄｅｌｔａ（ｐ－ｐ’）
＝＜ｘ｜ｐ’＞
＝ＡＥｘｐ（ｉｐ’ｘ／ｈ’）］

ここで〔２行目で）
Ｉｎｔｅｇｒａｌ　｜ｐ＞ｄｐ＜ｐ｜
はＵｎｉｔｙ＝１で＜ｘ｜と｜ｐ＞のあいだに挿入できます。また、
＜ｐ｜ｇ＞＝Ｄｅｌｔａ（ｐ－ｐ’）
を使いました。また、４行目でＤｅｌｔａ関数の性質を使いました。最後の行では証明抜きに書きましたが、運動量がｐ’で指定されるような状態｜ｇ＞は座標表示で平面波になる、ということでＤｉｒａｃの本では説明されています。ｈ’はｈバアー（Ｄｉｒａｃ定数）ｈ/2Piのつもりです。ここで興味あるのは、１行目と４行目をみれば、＜ｘ｜ｇ＞＝＜ｘ｜ｐ’＞、すなわち状態｜ｇ＞は状態｜ｐ’＞と同じで運動量ｐ’で指定される状態になっています。」

以上

お礼

追加で御説明ありがとうございます。

ディラックの本を少し読んだことでかなり理解が進みました。
ブラケットが閉じると、それはもうただの複素数であるということが最大のポイントで、わかってないところでした。
さて、あとは波動関数の表現の方ですね。。

さらに質問になってしまうのですが、
No２で、
　｛f(x)}^* = {<x|f>}^* = <f|x> = x(f)
となると思うのですが、このｘ(ｆ)ってなんなんでしょうか？
考えなくとも良いという気がすごくしますが、なんだか気になってしまって…。
また、上の式の両端をみると、関数の複素共役をとったら、関数と引数が逆転するということになってますが、
これはどう解釈すればいいのでしょうか…？

あとNo３で、
　∫|p>dp<p| = 1
がありますが、これがどうしてもわかりません。直交完全系をなす｜ａ＞を用いて
　Σ|a><a| = 1
という式の積分形なのかと思いましたが、運動量ｐだけじゃ１にならないし、
それにｄｐがケットとブラの間にあるし…？？？

どうも勉強不足で申し訳ありませんが、回答頂ければ嬉しいです。