【量子力学】エルミート共役と複素共役など

質問

量子力学が相変わらず難しすぎて、どこがわからないのかわからないという状況なのですが、
少し糸口になりそうな部分がわかったような気がするので質問させて頂きます。

複素共役を考えると、ブラケットでは、例えば
　（１）　（＜ψ｜Ａ｜φ＞）^*　＝　＜φ｜Ａ^†｜ψ＞
となり、同じものを波動関数の式では
　（２）　｛∫ψ^*Ａφdx｝^*　＝　∫φ^*Ａψdx　（全空間で積分ということでdxとしています）
のように書かれると思うのですが、エルミート共役はどのようになるのでしょうか？
　（３）　（＜ψ｜Ａ｜φ＞）^†　＝　？
　（４）　｛∫ψ^*Ａφdx｝^†　＝　？
という意味です。
私が今思っていることとしては、「内積をとった（ブラケットが閉じた）もの全体に対するエルミート共役」
という概念を考えること自体がおかしいのではないか、などと考えているのですが…。また逆に、
　（５）　｛Ａ｜ψ＞｝^†　＝　＜ψ｜Ａ^†
　（６）　｛Ａ｜ψ＞｝^*　＝　？
という疑問や、更にこれを波動関数の式（(2)みたいな式のことです。何と呼ぶのかわからない…。）で書くとどうなるのか、
などなど、もう何も分かってない気がしてきます（＾＾；；

とりあえず質問は上記の通りなのですが、（２）のような表記の意味がどうにもよくわからっていないというのが正直なトコロです。。
ブラケットなどの行列力学のような書き方は比較的しっくり来るのですが…。
波動関数というもの自体が、「関数だからベクトルじゃないの？？」とか、
「順序とか関係なく、[ψ,φ]＝０でいいの？？」とか…。もうなんだか混乱しすぎ…orz
という感じなので、どうかお救い下さい。

恐らく質問文が既にいろいろ間違ってたりするのでしょうが、何とか汲み取ってご教授くだされば幸いです。
いろいろ質問が多くなってしまいましたが、よろしくお願い致します。

回答No.1

Akira_Oji

私にとっても、量子力学は難しいものですが、数学的な部分はまだましで、概念的な部分のほうがむしろ不可解でしょう。
もしも、あなたがＤｉｒａｃのブラ・ケット記法がしっくり来るのであれば、ブラ・ケットと波動関数との関係が分かれば理解が進むかと思われます。あなたの場合波動関数とブラ・ケット表示を別々に導入されているので対応が付きにくいのではないでしょうか。例えば、座標ｘによる波動関数とブラ・ケット表記のあいだには
＜ｘ｜ｆ＞＝ｆ（ｘ）
のような関係があります。
最初は読みにくいかも知れませんが、Ｄｉｒａｃの「量子力学」には非常に論理的にブラ・ケットの導入と波動関数との関係が記述されています。最初の３章を頑張れば、あなたの疑問は明らかに解けると思います。結局、それが一番の近道だと思います。

お礼

嗚呼量子力学ってなんでこんなに難しいんでしょうね～（＾＾；；
＞あなたの場合波動関数とブラ・ケット表示を別々に導入されているので対応が付きにくいのではないでしょうか。
私が読んだ本では、かなり初めの辺りでブラケットを導入して、それからずっとブラケットで書かれていたので、
波動関数にはほとんど慣れていないという感じですね。。。
波動関数はなんだか抽象的すぎて…。数学の解析学が苦手なのでどうにも扱いづらいです。
＞　＜ｘ｜ｆ＞　＝　ｆ（ｘ）
う～ん、どこかで見たことあるような、ないような…。
この式を見ると、ブラとケットには、双対関係以上にもっと厳然たる違いがあるような気がします。（実際あるのかな…）
ケットが状態ベクトルで重要で、ブラはそのおまけみたいな…。うーん。。。

なるほど、確かにディラックがブラケットを導入した経緯を見れば少しは理解が進みそうですね。
ディラックの量子力学見てみます。

ご回答ありがとうございました。