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合成写像に関する問題
f:A→B g:B→Cとするとき (a)Aの任意の部分集合Pに対して (g・f)(P)=g(f(P)) (b)Cの任意の部分集合Rに対し {(g・f)^(-1)}(P)=f^(-1)(g^(-1)(P)) であることを示せ。(集合位相入門/松坂和夫) について、(b)は (g・f)^(-1)=f^(-1)・g^(-1)と(a)を利用すれば {(g・f)^(-1)}(P) ={f^(-1)・g^(-1)}(P) =f^(-1)(g^(-1)(P)) とできるので、(g・f)^(-1)=f^(-1)・g^(-1)と(a)を 証明すればOKだと思い次のように考えました。 [1] ~(g・f)^(-1)=f^(-1)・g^(-1)の証明~ (g・f)^(-1)とf^(-1)・g^(-1)の始集合と終集合はともに一致。 xをCの任意の元とする (g・f)^(-1)(x) ={a∈A;(g・f)(a)=x} ={a∈A;g(f(a))=x} 一方 (f^(-1)・g^(-1))(x) =f^(-1)(g^(-1)(x)) ={a∈A;f(a)∈g^(-1)(x)} ={a∈A;g(f(a))=x} よって∀x∈Cについて(g・f)^(-1)(x)=(f^(-1)・g^(-1))(x) よって(g・f)^(-1)=f^(-1)・g^(-1) [2] ~(a)の証明~ x∈(g・f)(P) →∃a∈P s.t. (g・f)(a)=x →f(a)∈f(P) →g(f(a))∈g(f(P)) →(g・f)(a)∈g(f(P)) →x∈g(f(P)) よって(g・f)(P)⊂g(f(P)) 逆に x∈g(f(P)) →∃b∈f(P) s.t. g(b)=x →∃a∈A s.t. f(a)=b・・・(※) [質問1] [1]の証明は正しいでしょうか? [質問2] [2]の証明において (※)からがわかりません。 私は、(※)の直後に a∈Pでない、つまりa∈A-Pと仮定して矛盾を導こうとしました。 なぜなら、 a∈P→(g・f)(a)∈(g・f)(P) →g(f(a))=g(b)=x∈(g・f)(P)とできると思ったからです。 でもうまく矛盾が導けませんでした。 しかし、fが単射という特別な場合ならば a∈A-P→f(a)=b∈f(A-P) よりb∈f(A-P)∩f(P) 今、fは単射より b∈f(A-P)∩f(P)=f((A-P)∩P)=f(φ)=φ これはfが写像であることに矛盾。 とできるなと思ったのですが、一般の写像に関してうまく矛盾が導きだせません・・。 なので、私の方針が根本的に誤りなのだと思ったのですが、 どこに誤りがあるのか自分ではわかりませんでした。 どなたか、[質問1][質問2]についてわかる方がいらっしゃいましたら回答よろしくお願いしますm(_ _)m
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