合成写像に関する問題

質問

f:Ａ→Ｂ
g:Ｂ→Ｃとするとき
(a)Ａの任意の部分集合Ｐに対して
(g・f)(Ｐ)＝g(f(Ｐ))
(b)Ｃの任意の部分集合Ｒに対し
{(g・f)^(-1)}(Ｐ)＝f^(-1)(g^(-1)(Ｐ))
であることを示せ。(集合位相入門/松坂和夫)

について、(b)は
(g・f)^(-1)=f^(-1)・g^(-1)と(a)を利用すれば
{(g・f)^(-1)}(Ｐ)
＝{f^(-1)・g^(-1)}(Ｐ)
＝f^(-1)(g^(-1)(Ｐ))
とできるので、(g・f)^(-1)=f^(-1)・g^(-1)と(a)を
証明すればＯＫだと思い次のように考えました。

[1]
～(g・f)^(-1)=f^(-1)・g^(-1)の証明～
(g・f)^(-1)とf^(-1)・g^(-1）の始集合と終集合はともに一致。
xをＣの任意の元とする
(g・f)^(-1)(x)
＝{a∈Ａ；(g・f)(a)＝x}
＝{a∈Ａ；g(f(a))＝x}
一方
(f^(-1)・g^(-1))(x)
＝f^(-1)(g^(-1)(x))
＝{a∈Ａ；f(a)∈g^(-1)(x)}
＝{a∈Ａ；g(f(a))＝x}
よって∀x∈Ｃについて(g・f)^(-1)(x)＝(f^(-1)・g^(-1))(x)
よって(g・f)^(-1)=f^(-1)・g^(-1)

[2]
～(a)の証明～
x∈(g・f)(Ｐ)
→∃a∈Ｐ　s.t. (g・f)(a)=x
→f(a)∈f(Ｐ)
→g(f(a))∈g(f(Ｐ))
→(g・f)(a)∈g(f(Ｐ))
→x∈g(f(Ｐ))
よって(g・f)(Ｐ)⊂g(f(Ｐ))

逆に
x∈g(f(Ｐ))
→∃b∈f(Ｐ)　s.t. g(b)＝x
→∃a∈Ａ　s.t. f(a)＝b・・・(※)

[質問１]
[1]の証明は正しいでしょうか？

[質問２]
[2]の証明において
(※)からがわかりません。
私は、(※)の直後に
a∈Ｐでない、つまりa∈Ａ-Ｐと仮定して矛盾を導こうとしました。
なぜなら、
a∈Ｐ→(g・f)(a)∈(g・f)(Ｐ)
→g(f(a))＝g(b)＝x∈(g・f)(Ｐ)とできると思ったからです。

でもうまく矛盾が導けませんでした。
しかし、fが単射という特別な場合ならば

a∈Ａ-Ｐ→f(a)＝ｂ∈f(Ａ-Ｐ)
よりｂ∈f(Ａ-Ｐ)∩f(Ｐ)
今、fは単射より
ｂ∈f(Ａ-Ｐ)∩f(Ｐ)＝f((Ａ-Ｐ)∩Ｐ)＝f(φ)＝φ
これはfが写像であることに矛盾。

とできるなと思ったのですが、一般の写像に関してうまく矛盾が導きだせません・・。

なので、私の方針が根本的に誤りなのだと思ったのですが、
どこに誤りがあるのか自分ではわかりませんでした。

どなたか、[質問１][質問２]についてわかる方がいらっしゃいましたら回答よろしくお願いしますm(_ _)m

回答No.1

naozou

この手の話のときには、前提や定義をきちんと明示することが大事です。
合成写像の定義（(g・f)の定義）、f^(-1)の定義をおねがいします。

補足

ＡＢＣを３つの集合とし、fをＡからＢへの写像、gをＢからＣへの写像とする。Ａの元aを任意に与えれば、まず、aのfによる像としてＢの元f(a)が定まる。次に、f(a)のgによる像としてＣの元g(f(a))が定まる。
このようにして、Ａの各元に対して、それぞれひとつずつＣの元g(f(a))が定まるから、aにg(f(a))を対応させるＡからＣへの写像ψが考えられる。このＡからＣへの写像ψをfとgの合成写像といい、g・fであらわす。

ＡからＢへの写像fが与えられたとする。
ＱをＢの任意の部分集合としたとき、Ａの元で、その像がＱの中にはいるようなもの全体の集合を、fによるＱの逆像といいf^(-1)(Ｑ)で表す
f^(-1)(Ｑ)={a∈Ａ；f(a)∈Ｑ}
特に、bをＢの一つの元とするとき
f^(-1)({b})={a∈Ａ；f(a)=b}はf^(-1)(b)と同じものである。

です。すいません。