- ベストアンサー
合成写像に関する問題
de_Raemonの回答
- de_Raemon
- ベストアンサー率80% (25/31)
まず[質問2]からですが(a)の証明の前半は問題ないと思います。 逆のg(f(P))⊂(g・f)(P)の証明ですが(※)の所で >∃a∈A s.t. f(a)=b となってますが、その前の行でb∈f(P)と言ってるので正しくは ∃a∈P st f(a)=b (※※) です。(※※)までを要約すると x∈g(f(P))→∃a∈P st x=g(f(a)) ですが、p34の一番下に書いてあるように合成写像があれば定義から必ず(g・f)(a)=g(f(a))が成り立つので x∈g(f(P))→∃a∈P st x=g(f(a))→∃a∈P st x=(g・f)(a)→x∈(g・f)(P) ∴g(f(P))⊂(g・f)(P) が言えます。 次に[質問1]ですが、この問題では写像f,gについての性質が書かれてないのでf,gは 逆写像を持つとは限りません。だから(b)の問題の中の(g・f)^(-1)やf^(-1)やg^(-1)は 逆写像ではなくてp30に書かれている原像の意味にとって証明する必要があると思います。 (逆写像があるときにも逆写像による像と原像は一致するので原像についてだけ証明しておけばOKです) まず{(g・f)^(-1)}(R)⊂f^(-1)(g^(-1)(R))の証明から。 a∈{(g・f)^(-1)}(R)→∃x∈R st (g・f)(a)=x→∃x∈R st g(f(a))=x →f(a)∈g^(-1)(R)→a∈f^(-1)(g^(-1)(R)) ∴{(g・f)^(-1)}(R)⊂f^(-1)(g^(-1)(R)) 次にf^(-1)(g^(-1)(R))⊂{(g・f)^(-1)}(R)の証明です。 a∈f^(-1)(g^(-1)(R))→∃b∈g^(-1)(R) st f(a)=b→∃x∈R st x=g(b)=g(f(a)) →∃x∈R st x=(g・f)(a)→a∈{(g・f)^(-1)}(R) ∴f^(-1)(g^(-1)(R))⊂{(g・f)^(-1)}(R)
関連するQ&A
- 写像の問題です。よろしくお願いします。
(1)2つの写像f:X→Y、g:Y→Zがある。g・fが全射ならばgは全射であるとする。ここでさらにgが単射であると仮定すればfも全射となることを証明せよ。 (2)自然数Nと零を合わせた集合N∪{0}から整数の集合Zへの写像で、全単射となるものを構成し、その理由を説明せよ。
- 締切済み
- 数学・算数
- 写像の証明問題です。よろしくお願いします。
写像の問題です。よろしくお願いします。 (1)2つの写像f:X→Y、f:Y→Zがある。g・fが全射ならばgは全射であるとする。ここでさらにgが単射であると仮定すればfも全射となることを証明せよ。 (2)自然数Nと零を合わせた集合N∪{0}から整数の集合Zへの写像で、全単射となるものを構成し、その理由を説明せよ。
- 締切済み
- 数学・算数
- 写像の単射全射のところの関係式に関する証明について
写像の単射全射のところの証明がわからないので、ご教授ください。 集合AからBへの写像をfとし、a∈A,P⊂A,b∈B,Q⊂Bとする。 1.fが単射のとき、a∈P ⇒ f(a)∈f(P)の逆が成り立つことの証明 2.fが単射のとき、P1⊂P2 ⇒ f(P1)⊂f(P2)の逆が成り立つことの証明 3.fが単射のとき、f(A-P) ⊃ f(A) - f(P) の逆が成り立つことの証明 4.fが単射のとき、f^(-1)(f(P)) = Pの証明 5.fが全射のとき、∃a'∈f^(-1)(Q), b=f(a') ⇒ b∈Qの逆が成り立つことの証明 6.fが全射のとき、Q1⊂Q2 ⇒ f^(-1)(Q1)⊂f^(-1)(Q2)の逆が成り立つことの証明 7.fが全射のとき、f(f^(-1)(Q)) = Qの証明 以上の7問です。 何個かだけでも構いませんので、回答して頂ければ嬉しいです。 また、はじめての質問ですので、ご迷惑をおかけするかもしれませんが、よろしくお願いいたします。
- 締切済み
- 数学・算数
- 写像に関する問題
f : A→Bを集合間の写像とし、g : 2^B→2^Aを g(X)=f^-1(X) とする。ただし、Bの部分集合Xに対して、 f^-1(X)は、f : A→Bに関するXの逆像 f^-1(X)={a∈A|f(a)∈X} で定義されるAの部分集合とし、集合Aに対して、 2^AはAの部分集合全体とする。 (1)fが全写なら、gは単写 (2)fが単写なら、gは全写 であることを示せという問題ですが、 (1) X1≠X2のとき、g(X1)≠g(X2)となることを示す。 X1,X2∈2^Bとし、X1≠X2とする。また、x1,x2∈Aとすれば、fは全写であるので、f(x1),f(x2)∈B。ここで、f(x1)∈X1,f(x2)∈X2とすれば、 ここで、X1≠X2より、x1≠x2。従って、g(X1)≠g(X2)となり、gは単写。 (2) 任意のX1をとったとき、g(X1)∈Aとなることを示す。 fは単写より、f^-1(x1)∈Aとなるような元x1∈X1が存在する (ただし、X1⊂B)。従って、写像gの定義より、 常にg(X1)∈Aとなるような元g(X1)が存在する。従って、gは全写。 上記のように考えたのですが、この考え方であっているのでしょうか? お手数ですが、どなたかご指南いただけないでしょうか? よろしくお願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
- 合成問題の証明教えてください(><)
背理法を使ってみたんですがよくわかりませんでした。 写像f:A→B,g:B→Cとその合成写像g。fについて示せ。 1 f,gともに全単射であればg。fはまた全単射である。またこのとき(g。f)^-1=f^-1。g^-1である。 2 g。fが全単射ならばgは全射である。もしこのとき、さらにgが単射でもあれば、fは全射である。 3 g。fが単射ならば、fは単射である。もしこのとき、さらにfが全射でもあれば、gは単射である。 わかる方よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
なんかうまく説明できないのですが・・ まずf(a)=bなるa∈Aがあるとして このとき f(a)=f(a')=bなるa'∈Pがあるので・・以下前回答の方針・・・ とするほうがいいのでは?と思いました・・。
補足
回答ありがとうございます。 >逆写像ではなくてp30に書かれている原像の意味にとって証明する必>要があると思います。 ご指摘ありがとうございます。まったくその通りですね、うっかりしてました・・。証明も理解できました。ありがとうございます。 ですが >∃a∈A s.t. f(a)=b >となってますが、その前の行でb∈f(P)と言ってるので正しくは >∃a∈P st f(a)=b (※※) ココばっかりは、どうも納得がいきません・・。 前の補足にも書きましたが f(a)=b∈f(P)だからといって a∈Pだとは言えないですよね・・。 いきなり(※※)を書くのはマズイのではないでしょうか? 回答よろしくお願いしますm(_ _)m