n次元ベクトルの線型独立について
- 3個のn次元ベクトルP1,P2,P3が線型独立なら、この内の2個のp1,p2も線型独立であることを証明
- P1・（P2XP3)＝C1 （C1はゼロでない）が成り立つとき、P1,P2,P3は一次独立である
- P1,P2,P3が一次独立のとき、他の２個のVectorは一次独立となる
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n次元ベクトルの線型独立について。
「3個のn次元ベクトルP1,P2,P3が線型独立なら、この内の2個のp1,p2も線型独立であることを証明せよ。」 Pnをｎ次元ベクトルとする。 P１（ｐ１１、ｐ１２、ｐ１３、・・・ｐ１ｎ） P2 （ｐ２１、ｐ２２、ｐ２３、・・・ｐ２ｎ） ・ ・ ・ Pｎ（ｐｎ１、ｐｎ２、ｐｎ３、・・・ｐｎｎ） とする。 基底ベクトルを次のように定める。 i（１）、ｊ（２）、ｋ（３）、・・i（nー２）、ｊ（n-1）、ｋ（n） ベクトル外積P2XP3を次のように定める。 P2XP3 ＝｜i(１）、 ｊ（２）、 ｋ（３） ｜ ｜ｐ（２１）、ｐ（２２）、ｐ（２３）｜ ｜ｐ（３１）、ｐ（３２）、ｐ（３３）｜ ｜i(４）、 ｊ（５）、 ｋ（６） ｜ ＋｜ｐ（２４）、ｐ（２５）、ｐ（２６）｜ ｜ｐ（３４）、ｐ（３５）、ｐ（３６）｜ ・ ・ ・ ・ ｜i(n-2）、 ｊ（n-1）、 ｋ（ｎ）｜ ＋｜ｐ（２、(n-2））、ｐ（２、（n-1））、 ｐ（２n）｜ ｜ｐ（３、(n-２））、ｐ（３、(n-1））、ｐ（３、ｎ）｜ （と、n次元Vector外積を上記のようにしましたが これでよいのでしょうか？） とする時。 P1・（P2XP3)＝C1 （C1はゼロでない） が成り立つとき、P1,P2,P3は一次独立である。 このとき （P2XP3）＝C2 （C２はゼロVectorでないので。） が成り立つので、P2,P3は一次独立である。 故にP1,P2,P3が一次独立のとき 他の２個のVectorは一次独立となる。
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論理的な問題と、独立・従属の関係と、どっちが縺れているのでしょうね。おさらいのような話で恐縮ですが、 論理的な問題です: １）Ａならば、Ｂである。 「ｐ１，ｐ２，ｐ３が線形独立であれば、ｐ１，ｐ２は線形独立である。」 対偶は、 ２）Ｂでないならば、Ａでない。 「ｐ１，ｐ２が線形独立でないならば、ｐ１，ｐ２，ｐ３は線形独立でない。」 言い換えると、 「ｐ１，ｐ２が線形従属であれば、ｐ１，ｐ２，ｐ３は線形従属である。」 この１）と２）は同値ですから、一方を証明すれば他方も証明されたことになります。 あなたが＃２で補足に挟まれた、 「ｐ１，ｐ２，ｐ３が一次従属のとき他の2個のVectorも 一次従属である。」 という命題は、 ３）Ａでないならば、Ｂでない。 これは、１）、２）とは同値ではありません。 独立・従属の問題です： ○二個のベクトルｐ１、ｐ２について、線形従属であれば、ある n があって ｐ１＝n ｐ２ とできる。独立であれば決してそのようにならない。したがって、独立のｐ１、ｐ２であれば、 a ｐ１ + b ｐ２ で生成される空間は、二次元空間（平面）である。 従属であればそれは、一次元空間（直線）を生成する。 ○三個のベクトルｐ１、ｐ２、ｐ３について、線形独立なら a ｐ１ + b ｐ２ +c ｐ３ は、三次元空間を生成する。（したがって、a ｐ１ + b ｐ２ で二次元空間を生成しているはずなので、ｐ１、 ｐ２ が線形独立であるのは当然なのですが。） 三つが線形独立でない、すなわち線形従属であれば、それは、三次元より低い次元の空間を生成する。二次元かもしれないし、一次元かもしれない、それは、三つのうちのどういう組み合わせで従属になるかによって決まります。その組み合わせはいくつか出来る訳ですが、ｐ１とｐ２が従属関係であるためにその二つと独立なｐ３を加えても平面しか生成出来ないこともあれば、ｐ１とｐ２が独立であるが、ｐ１＋ｐ２とｐ３が従属関係になるのかもしれない。それらを一気に表現出来る手が、 a ｐ１ + b ｐ２ +c ｐ３ ＝ ０ が成立するのがどんな場合かという話ですね。 こんな所で如何でしょうか。
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- Tacosan
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2ベクトル (1, 1, 1), (1, 1, 2) は一次従属ですか? ついでに 「P1,P2が一次独立/一次従属ならば P1,P2,P3が一次独立/一次従属が成り立つ。」 とはどういう意味でしょうか? 「両方とも一次独立であるか両方とも一次従属である」と読むのであれば, この 2つは同値になるから必然的に逆も成り立つことに注意してください. ああ, もちろん ・任意の P1, P2, P3 に対し P1, P2 が一次従属なら P1, P2, P3 は一次従属 ・任意の P1, P2, P3 に対し P1, P2 が一次独立なら P1, P2, P3 は一次独立 のうち前者は成り立ちますが後者は (一般には) 成り立ちません.
補足
コメントありがとうございます。 P1（１，１，１） P2(１，１，２） とする。 ｜１，１，１｜| a｜ ｜１、１、２｜｜ｂ｜＝０ ｜ｃ｜ となり、 左辺の｜P|が0でないとき一次独立。 ０のとき一次従属。 名のですが、左辺の行列が次元数とVector数が 合わなくて、長方図形となり行列式が計算できない。 そこで 基底Vector、i,j,kを導入。 P1とP2のVector外積を計算する。 ｜i,ｊ、ｋ ｜ ｜１，１，１｜＝i+ｊ ｜１，１，２｜ となり、一次独立。 Vectorの一次従属、一次独立問題は まだ完全に理解できていません。
- old_sho
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＃２の回答をしたものですが、もったいぶった回答だったようでした。 改めて、 「ｐ１，ｐ２，ｐ３が線形独立であれば、ｐ１，ｐ２は線形独立である。」の対偶は、 「ｐ１，ｐ２が線形従属であれば、ｐ１，ｐ２，ｐ３は線形従属である。」 念のために、この対偶の証明を書いて見ますと、 仮定より、a = b = 0 でない或る a, b が存在して、 a p1 +b p2 = 0 この a, b を使って、 c = 0 とすると a p1 + b p2 + c p3 = 0 が成立する。それは、a = b = c = 0 ではない a, b, c である。故に、 ｐ１，ｐ２，ｐ３は線形従属である。
補足
コメントありがとうございます。 「P1,P2が一次独立/一次従属ならば P1,P2,P3が一次独立/一次従属が成り立つ。」 はあっても、この逆はないのでは？
- Tacosan
- ベストアンサー率23% (3656/15482)
「aP1 + bP2 + cP3 = 0 iff a = b = c = 0」 において c = 0 を代入すると 「aP1 + bP2 + 0×P3 = 0 iff a = b = 0 = 0」 が導かれます. これと 「aP1 + bP2 = 0 iff a = b = 0」 は同じもの. 「ｄP１＋eP2＝０が成り立ち、ｄ、e＝０の場合に一次独立」 というのは文章としておかしい (まともな意味をなさない) ので「言えるか」と聞かれると困る.
補足
｜P（１１）、ｐ（１２）、ｐ（１３）｜｜a｜ ｜ｐ（２１）、ｐ（２２）、ｐ（２３）｜｜ｂ｜＝０ ｜ｐ（３１）、ｐ（３２）、ｐ（３３）｜｜ｃ｜ 行列式｜P|が０でないときP1,P,P3は一次独立となり そのとき、a=b=c=0である。 ｜P|が０でないとき ｜P（１１）、ｐ（１２）、｜｜a｜ ｜ｐ（２１）、ｐ（２２）、｜｜ｂ｜＝０ これの行列式が０のときも存在するのではないのかな？ そうなると、P1,P2は一次従属ですね？
- old_sho
- ベストアンサー率38% (20/52)
この話、線形代数を学んだ者にはあまりに自明なので、冷たく見られて居ますね。 元の質問者の言われるように、対偶を取れば終わりでしょう。対偶を証明するのではなく、対偶を書けばそれ以上証明をしようとは思わないでしょう。
補足
コメントありがとうございます。 「P1、P2,P3が一次独立のとき他の2個のVectorも 一次独立である。」 「P1、P2,P3が一次従属のとき他の2個のVectorも 一次従属である。」 自明のことのようです。 ただ私は、そこのところを理解できていないので。
- Tacosan
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3次元ベクトルに対してしか「外積」は定義されてないよ～ (まあ「7次元でも定義できる」という話もあるけどここでは無関係). だから「いいのか」と聞かれても困る. だいたい, n が 3 の倍数でないときに困らないか? でも, これってそんなに「策を弄する」必要あるの? 単純に 「P1, P2, P3 が一次独立」→「aP1 + bP2 + cP3 = 0 iff a = b = c = 0」→「aP1 + bP2 = 0 iff a = b = 0」→「P1, P2 は一次独立」 で終わりでしょうに.
補足
コメントありがとうございます。 しかし、少しわかりません。 「P1, P2, P3 が一次独立」→「aP1 + bP2 + cP3 = 0 iff a = b = c = 0」 つまり、a,b,c＝０となる。 ところがこれから ｄP１＋eP2＝０が成り立ち、ｄ、e＝０の場合に 一次独立」が言えますか？
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