ポワンカレ予想

質問

わたくし高卒の低学歴ですが、真剣に疑問に思ったんでお願いします

ポワンカレ予想についてのドキュメンタリーのNHKスペシャル
「100年の難問はなぜ解けたのか～天才数学者 失踪の謎～」
を見て思ったんですが、

地球からロケットに乗り、そのロケットに長い長いロープを付けて、宇宙のありとあらゆる所を旅行します。そして、旅行が終わり地球に辿り着いた時、手元にはロープの始まりと終わりの両端があります。そのロープの両端を持ったまま離さないで、ロープ全体を手元に引き寄せます。そして、ロープが全て手元に引き寄せられた時、この宇宙はおおむね丸いと言えるか、という問題ですが

実際これは僕たちが今住んでる宇宙で実験するのは不可能なので
僕たちの住んでる宇宙が丸いかどうかは証明出来ないんですよね？

あまり実用的な問題に思えないんですけど
なぜこれが多くの数学者の心をとらえ、賞金100万ドルも
貰えるような世紀の難問とされるのでしょうか？

回答No.1

FEX2053 · ベストアンサー

家に帰ってブルーバックスを読めば、色々と解説が出来るんですが、
とりあえず覚えていることで。

数学で「space」と言う場合「宇宙」ではなく「空間」という意味で、
この話は３次元空間の話だと理解して下さい。実際の宇宙は静的な空間
ではなく、３次元的にも歪みがあるので直接比較は出来ません。

で、静的で歪みのない３次元空間に、どのようにも変形できる粘土で
作ったドーナツが浮かんでいると考えてください。

どのようにでも変形できるのですから、この粘土はマグカップに変形
出来ます。ドーナツの穴はカップの取っ手に化けたわけですね。でも
果たして球体に変形できるか？　という話が「ポワンカレ予想」なん
です。即ち「穴は変形して消えるのか」と言うことですね。

ちなみにこの「変形」には、数学的に厳密な条件が付きます。数学的に
「穴のある空間」と「穴の無い空間」は明らかに違うのですが、「変形」
を通じて同じものに出来るか・・・は、分からなかったんですね。

この辺は「トポロジー」という分野を勉強すると、良く分かるかと。
http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%88%E3%83%9D%E3%83%AD%E3%82%B8%E3%83%BC

この問題は、実は他の数学的未解決分野にも連動する話だったはずで、
数学の世界では結構大変な話なんです。まあ、例えば「唐招提寺の修復
で鑑真和上の直筆が出てきた」のに近い話で、その分野では大発見です
が、じゃあ実世界に何か変化があるか・・・と言われると（？）が付く
話ではあります。

回答No.3

gane-sya_2

ゆえることは　この予想と評価が　まったくばかげてると　おもった
あなたの直感が正しい

そしてポワンカレ予想は　予想であって　後世で研究されてあたってたら　（へーポワンカレってすごいね　すごい前からこれをしってたんだ）
みたいになり　まったく証明されなかたら証明されるまで研究はつずく
かわすれられる　

だが　こんな宇宙を一周させるなんんて　確実にできない
そもそも　宇宙に端なんてあるのかどうか　それに　そのロープが
はいれない

これはポワンカレ自身も予想でだれも　なにも　わかっていない
イラクで核兵器があるゆうてイラク戦争いったみたいな
石油ショックでみんながトイレットペーパーかいにいくからトイレット
ペーパー並ぶ行列できたみたいな
NHKもよくわかってないけど　すごい評価された　そして　それを拒否した不思議な現象がきになり　取材にいったとゆうこと

もしかしたら　ポワンカレとが100万どるもらう　そしてその一部を
評価した人が　すこしもらうてきな　ことがあるから　拒否したとゆう
可能性もかんがえれる　どうせだれも　まちがってるも　わからないんだから　権威のある人がゆったら（へ～～～そうなんだ）となる

回答No.2

proto

ロケットやらロープやら宇宙やらの話は素人にもわかるようにと作られたたとえ話です。
実際には数学の問題なので、ロケットも宇宙も登場せずに話は出来ます。
ポアンカレ予想を少しだけ数学的な言葉で言えば「単連結な3次元閉多様体は3次元球面と同相である」ということになります。
「単連結な」が、ロケットにロープを付けて引き寄せる、という部分です。
「3次元閉多様体」が、宇宙という部分です。
「3次元球面と同相」が、おおむね丸いという部分です。

3次元閉多様体とは、4次元の空間に浮かぶ3次元の閉じた図形というイメージです。
普通の人には想像しづらいですが、3次元閉多様体についての話なので別に宇宙に限らず3次元閉多様体なら何でも良いのです。
別に宇宙の形を検証しようと思ってこの予想を立てたわけではない、そこは理解しておいてください。

さて、なぜこの問題が多くの数学者を悩ませたか、それはポアンカレ予想と同類の予想がすでに解決されていたことにあります。
ポアンカレ予想と同類の問題として「単連結な1次元閉多様体は1次元球面と同相である」や「単連結な2次元閉多様体は2次元球面と同相である」、さらに「単連結な4次元閉多様体は4次元球面と同相である」などが考えられます。
一般的な形で書くと「単連結なn次元閉多様体はn次元球面と同相である」という予想になります。
この予想のn=3以外の場合については(なんとn=4以上のどんな大きなnについても！)、トポロジー的な手法によって以前に証明されていました。
数学者は同様の考えでトポロジー的な手法を用いてn=3の場合も証明できるだろうと思っていました。しかし、トポロジーを用いて証明に挑戦した人が皆途中で挫折し、なかなか証明されなかったのです。
n=3以外の場合には証明できるのに、n=3の場合には難しい！これが数学者たちが躍起になってポアンカレ予想に挑戦した理由です。

最後にこの予想の実用性なのですが、元がトポロジーの未解決問題なので、その周辺分野で応用されていくのだろうと思います。実はあまり知りません。
ですがポアンカレ予想に限らず言えることは、数学は抽象と論理の学問であり、結局は机上の空論に過ぎません。物理や工学、測量、統計などの道具として使われ実生活に応用されることもありますが、本来数学は何の役にも立たないという事を覚えておいてください。
逆に言うと実生活に全く独立して存在しているのが数学だとも言えます。
もしこの地球や宇宙が存在しなくても数学の理論はどこかに存在しているのかもしれません。