Taylor展開について教えてください。

質問

複素関数についての質問です。
関数f(z)=e^(z^2-2iz)をz=iを中心としてTaylor展開せよ。
という問題がだされたのですが、どうやって解けばいいのか、わかりません。
解き方を教えてください。

e^(z^2-2iz)のk回微分が分かれば、解けると思うのですが、自分の力では解けませんでした。

回答No.6

arrysthmia

＞ e*Σ1/k!*{(z-i)^2k}
＞ ですかね。

そうです。
e^x のテーラー展開は、e^x = Σ[k=0…∞] (1/k!)x^k。
これに x = (z-i)^2 を代入すると、
級数表示 e^(z-i)^2 = Σ[k=0…∞] (1/k!)(z-i)^(2k)
を得ますが、右辺がまんまとテーラー展開の形に
なっている訳です。

＞ e^(z^2-2iz)をz=iを中心としてTaylor展開せよ。

とは、 e^(z^2-2iz) を (z-i) のベキ級数で表せ
ということですからね。

＃ e^x = Σ[k=0…∞] (1/k!)x^k の x は、複素変数です。

回答No.5

info22

#4です。
A#4で
>g(x)=e^zのz=0におけるTaylor展開をh(z)と置くと
のg(x)はg(z)の間違いですので訂正します。

A#4の補足質問の回答

>e*Σ1/k!*{e^i(z-i)^2k}
間違いです。
正しい展開は
Σ[k=0,∞](e/k!)*(z-i)^(2k)

なお、
f(x)と使う時は変数xは実数平面の実変数、f(x)を実関数
f(z)と使う時は変数zは複素平面の複素変数,f(z)を複素関数
として扱っていることを表します。
Taylor展開式の中で変数をxと書くときはxを実数として考えており
Taylor展開式の中で変数をzと書くときはzを実数として考えており
f(z)が複素関数として扱うと言うことです。

したがって
f(z)のz=iの周りのTaylor展開
とzを使って書くわけです。

回答No.4

info22

>e^(z^2-2iz)のk回微分が分かれば、解けると思うのですが
でも出来ると思いますが、計算量が多くなるので止めて、以下の方法を
#2の方のアドバイスにあるやり方をした方がいいでしょう。

g(x)=e^zのz=0におけるTaylor展開をh(z)と置くと
f(z)のz=iの周りのTaylor展開F(z)は
F(z)=e*h((z-i)^2)
となります。

後はご自分でよく考えて見てください。

お礼

e^x のテーラー展開は、収束半径∞になるのですね。；；
そうすると、No3さんの言うとおり、xになんでも代入できるので、F(z)=e*h((z-i)^2)が成り立つのでしょうか？

あまり理解ができてませんが、とりあえず答えだけは、だせた気がします。

e*Σ1/k!*{e^i(z-i)^2k}
であってますか？あんまり自信がないのでよろしくお願いします。

補足

あっまちがえましたz=0におけるTaylor展開でしたね。
そうすると、

e*Σ1/k!*{(z-i)^2k}
ですかね。

回答No.3

arrysthmia

No.2 さんの言うとおり。
k 回微分して、テーラー展開の各項を求めるのは、
やめといたほうが無難です。

ヒントのヒント：
e^x のテーラー展開は、収束半径∞になるので、
x に何でも代入できる ことに着目しましょう。

お礼

収束半径が関係してくるのですね。

収束半径すら、あまりわかってないです；；
∞だとxに何でも代入できるっていうのは、なんとなくわかりました。
ありがとうございました。

回答No.2

orcus0930

e^(z^2-2iz)
=e*e^(z^2-2iz+i^2)
=e*e^((z-i)^2)

とでも変形してみましょうか。

あとは頑張ってください。
ヒント、e^(z^2)をこれ自体を微分して求めるのはやめたほうがいい

お礼

回答ありがとうございます。
なんとか、e*e^((z-i)^2)まで変形することはできました。
しかし、e^(z^2)自体を微分しないとなると、どのようにとけばいいのでしょうか？
さっきから計算しているのですが、わかりません。

回答No.1

koko_u_u

z = i のまわりでの展開を求めよ、としているのがヒントです。
はい、もう一度考えましょう。