複素数平面にて なぜＸのｎ乗の解が円軌道を描くのか

質問

どうしてＸのｎ乗の解が円軌道を描いて、ｃｏｓ角（実部）　とｓｉｎ角（虚部）の数値をとるのでしょうか　二次方程式の解の公式にからくりがあるとか？
だれかおしえてくださいー

回答No.5

sanori · ベストアンサー

こんばんは。
「Ｘのｎ乗根」ということですよね？

これは、オイラーの公式
ｅ^(iθ)　＝　cosθ　＋　ｉ・sinθ
を応用すると、簡単に考えることができます。

まず、１のｎ乗根を考えます。
ｅ^0　＝　１　であり、
また、ｅ^(iθ)　は、オイラーの公式より周期が３６０度の周期関数ですから、
整数ｍを置いて、
１　＝　ｅ^(i・0　＋　im・360)　＝　ｅ^(i・360m)
と書けます。
（見やすくするため、２πラジアンではなく、あえて３６０度で表しました。）

よって、
ｎ回掛け算して１になる数、すなわち１のｎ乗根は、
（ｅ^(i・360im) ）^(1/n)　＝　ｅ^(i・360m/n)
と書けます。

ここで、色々な　３６０ｍ／ｎ　のうち　０≦θ＜３６０　の範囲に入るものを探します。
すると、
ｍ＝０、ｍ＝ｎ、ｍ＝２ｎ、・・・、ｍ＝ｎ－２、ｍ＝ｎ－１
のｎ通りがあります。
つまり、
ｅ^(i・360m/n)
の答えは、ｎ通りあるということです。

というわけで、１のｎ乗根は、

cos(i・360m/n)　＋　ｉ・sin(i・360m/n)
　　ただし、ｍ＝０、１，２，３、・・・、ｎ－２、ｎ－１

となります。

１以外の正の実数のｎ乗根は、
その実数をＸと置いて、
Ｘ・ｅ^(iθ)　＝　Ｘ・cosθ　＋　ｉ・Ｘ・sinθ
と考えるだけです。
つまり、Ｘの「普通の（実数の）ｎ乗根」を、Ｘ^(1/n) として

（Ｘ・ｅ^(i・360m) ）^(1/n)　＝　Ｘ^(1/n)・ｅ^(i・360m/n)
　＝　Ｘ^(1/n)・cos(i・360m/n)　＋　ｉ・Ｘ^(1/n)・sin(i・360m/n)
　　ただし、ｍ＝０、１，２，３、・・・、ｎ－２、ｎ－１

です。

回答No.4

arrysthmia

「Ｘのｎ乗の解」って何？

X^n = c (c は定数) の解が、ひとつの円周上にある理由なら、
絶対値をとると |X| = |c|^(1/n) だから。
|X| は、複素数 X と 0 との複素平面上の距離を表している。

定数 X, パラメータ n に対して X^n が描く軌跡のことを言っているなら、
円ではなく、螺旋になる。
http://homepage1.nifty.com/haniu/nuas/spiral.html

回答No.3

Gab_km

xとは何を指しているのでしょうか。
その他にもcos角の言葉の意味など、おっしゃりたいことが掴みづらい文章に感じます。
短めの文に分けて構いませんので、整理していただけませんか？

それと、おそらく二次方程式の解の公式とは関係がないと推測されます。

回答No.2

masa072

まず，全ての複素数が極形式で表せます。
a+bi=r(cosθ+isinθ)となるr,θがあります。
(r=|a+bi|=√(a^2+b^2),θはcosθ=a/√(a^2+b^2),sinθ=b/√(a^2+b^2)を満たすもの。(a/√(a^2+b^2))^2+(b/√(a^2+b^2))^2)=1なのでそれぞれcosθ，sinθと置いていいですね)

また，ドモアブルの公式が存在します。
(cosθ+isinθ)^n=cos nθ+isin nθ
証明は帰納法でできます。

さて，x^n=1の解は1のn乗根となります。
|x|=1ですから，r=1とできます。
するとn乗して1になる数はx=cos(2kπ/n)+isin(2kπ/n)(kは0以上n未満の整数)と表されます。
なぜなら，ドモアブルの定理により，x^n=cos2kπ+isin2kπとなります。kは整数ですから，cos2kπ=1,sin2kπ=0となり，x^n=1です。

ところで，複素数平面においてx=cos(2kπ/n)+isin(2kπ/n)と表せる点はxy平面では(cos(2kπ/n),sin(2kπ/n))と一致します。この点はx^2+y^2=1を満たしますから単位円上にあります。

x^n=aとすれば一般化可能です。

回答No.1

owata-www

(cosα＋isinα)^2＝(cos^2α-sin^2α)+i(2sinαcosα)
＝cos2α+isin2α
となります。

同様にして、(cosα+isinα)^n＝cos(nα)+isin(nα)　…(1)が成り立ちます（数学的帰納法で証明できます）

X^n＝iの解のとき、
X＝(i^1/n){cos(2π/n*k)＋sin(2π/n*k)} （kは０～nの整数）
とすれば、
X^n＝[(i^1/n){cos(2kπ/n)＋sin(2kπ/n)}]^n
＝i*[cos{(2kπ/n)*n}＋sin{(2kπ/n)*n}]　（(1)より）
＝i*（cos2kπ＋sin2kπ）
＝i*（1+0*i）
＝i

となるからです。

お礼

皆さん　回答ありがとうございました　Ｘのｎ乗＝１の解でした　ちゃんと書いてなくてすいません　　参考にさせてもらいますー！

補足

ｃｏｓ角でなくて　ｃｏｓθです　失礼しましたー