三角関数の最大値を求める問題
- 長軸の長さがa、短軸の長さがbで中心の座標が(m, n)の楕円周上の点のうち、原点までの長さが最大となる点Pを求める問題です。
- @の範囲は、楕円を考えているので0≦@＜2πになります。
- 解法が分からず、どなたか教えていただけないかとお願いしています。
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三角関数の最大値を求める問題
長軸の長さがa、短軸の長さがbで中心の座標が(m, n)の楕円周上の点のうち、 原点までの長さが最大となる点Pを求めよという問題で、 楕円周上の点Pを(x, y)=(acos@+m, bsin@+n)と置いたとき、 原点までの距離Lはsqrt((acos@+m)^2+(bsin@+n)^2)となるので、 L^2が最大となる@を求めればよいと思って、展開してsinにそろえると、 L^2=(a^2)(cos@)^2+2amcos@+m^2+(b^2)(sin@)^2+2bnsin@+n^2 =(a^2)(1-(sin@)^2)+2amcos@+m^2+(b^2)(sin@)^2+2bnsin@+n^2 =(b^2-a^2)(sin@)^2+2bnsin@+2amcos@+a^2+m^2+n^2 =(b^2-a^2)(sin@)^2+2sqrt((bn)^2+(am)^2)sin(@+arctan(am/bn))+a^2+m^2+n^2 となり、関数の中に位相の異なるsinが出てきてしまって2次方程式として最大値を求めることができません。 @の範囲は、楕円を考えているので0≦@＜2πになるかと思います。 (sin@)^2を次数下げした場合はcos2@が出てきてしまい、三角関数の合成をcosで行っても、 角速度と位相の異なるcosの式になってしまうので、同様に解けません。 どなたか解法をご教授いただけませんでしょうか。 よろしくお願いいたします。
- nukkie66
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ラグランジュの未定乗数法を使う http://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A9%E3%82%B0%E3%83%A9%E3%83%B3%E3%82%B8%E3%83%A5%E3%81%AE%E6%9C%AA%E5%AE%9A%E4%B9%97%E6%95%B0%E6%B3%95 あるいは、円x^2+y^2=k^2と接する時（２つあるが）、接点が点Ｐとなるので、それを求めて（判別式を使って）みる 計算がめんどそうなので確かめてませんが
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