2変数関数のテイラーの定理の問題について

質問

どうにか2変数関数のテイラーの定理の問題まで解き進めることができました。
ここまでこれたのも、こちらでご指導くださった皆様のおかげと大変感謝しております。まだまだ勉強不足ですが、引き続きご鞭撻のほど、よろしくお願いしまします。

2変数関数のテイラーの定理の問題を解いてみたのですが、
これであっているのか、ご指導いただければと思います。
特に(5)が自信ないです。

【問題】
次の2変数関数に、n=2の場合の「マクローリンの定理」を適用せよ。

※2変数関数のマクローリンの定理
f(x,y)=f(0,0)
+(1/1!){x・(δ/δx)+y・(δ/δy)} f(0,0)
+(1/2!){x・(δ/δx)+y・(δ/δy)}^(2) f(0,0)
+…
+(1/(n-1)!){x・(δ/δx)+y・(δ/δy)}^(n-1) f(0,0)
+(1/n!){x・(δ/δx)+y・(δ/δy)}^(n) f(θx,θy)

(0<θ<1)

※2変数関数のマクローリンの定理(n=2の場合)
f(x,y)=f(0,0)+{fx(0,0)+fy(0,0)y}
+(1/2){fxx(θx,θy)x^(2)+2fxy(θx,θy)xy+fyy(θx,θy)y^(2)}

(1) x+y

f(x,y)=x+y
f(0,0)=0
fx(x,y)=1
fx(0,0)=1
fy(x,y)=1
fy(0,0)=0
fxx(x,y)=0
fxx(0,0)=0
fxy(x,y)=0
fxy(0,0)=0
fyy(x,y)=0
fyy(0,0)=0

2変数関数のマクローリンの定理(n=2)を適用し、
f(x,y)=0+(0x+0y)+(1/2)(0x^2+2・0xy+0・y^2)=0

(2) x^2+y^2

f(x,y)=x^2+y^2
f(0,0)=0
fx(x,y)=2x
fx(0,0)=0
fy(x,y)=2y
fy(0,0)=0
fxx(x,y)=2
fxx(θx,θy)=2
fxy(x,y)=0
fxy(θx,θy)=0
fyy(x,y)=2
fyy(θx,θy)=2

2変数関数のマクローリンの定理(n=2)を適用し、
f(x,y)=0+(0x+0y)+(1/2)(2x^2+2・0xy+2y^2)
=(1/2)(2x^2+2y^2)
=x^2+y^2

(3) x^2+2xy+y^2

f(x,y)=x^2+2xy+y^2
f(0,0)=0
fx(x,y)=2x+2y
fx(0,0)=0
fy(x,y)=2x+2y
fy(0,0)=0
fxx(x,y)=2
fxx(θx,θy)=2
fxy(x,y)=2
fxy(θx,θy)=2
fyy(x,y)=2
fyy(θx,θy)=2

2変数関数のマクローリンの定理(n=2)を適用し、
f(x,y)=0+(0x+0y)+(1/2)(2x^2+2・2xy+2y^2)
=(1/2)(2x^2+4xy+2y^2)
=x^2+2xy+y^2
=(x+y)^2

(4) x^3+y^3

f(x,y)=x^3+y^3
f(0,0)=0
fx(x,y)=3x^2
fx(0,0)=0
fy(x,y)=3y^2
fy(0,0)=0
fxx(x,y)=6x
fxx(0,0)=0
fxy(x,y)=0
fxy(0,0)=0
fyy(x,y)=6y
fyy(0,0)=0

2変数関数のマクローリンの定理(n=2)を適用する。
ただし、3次式のため、fxx(x,y),fxy(x,y),fyy(x,y)までの計算とする。

f(x,y)=0+(0x+0y)+(1/2)(0・x^2+2・0xy+0・y^2)=0

(5) e^(x)・sin(y)

f(x,y)=e^(x)・sin(y)
f(0,0)=e^(0)・sin(0)=1・0=0
fx(x,y)=e^(x)・sin(y)
fx(0,0)=e^(0)・sin(0)=1・0=0
fy(x,y)=e^(x)・cos(y)
fy(0,0)=e^(0)・cos(0)=1・1=1
fxx(x,y)=e^(x)・sin(y)
fxx(θx,θy)=e^(θx)・sin(θy)
fxy(x,y)=e^(x)・cos(y)
fxy(θx,θy)=e^(θx)・cos(θy)
fyy(x,y)=e^(x)・(-sin(y))=-e^(x)・sin(y)
fyy(θx,θy)=-e^(θx)・sin(θy)

2変数関数のマクローリンの定理(n=2)を適用し、
f(x,y)=0+(0x+1y)
+(1/2)(e^(θx)・sin(θy)・x^2+2・e^(θx)・cos(θy)・xy-e^(θx)・sin(θy)y^2)
=y+(1/2)e^(θx)(sin(θy)・x^2+2cos(θy)・xy-sin(θy)y^2)
=y+(1/2)θ・e^(θx)(sin(y)x^2+2cos(y)xy-sin(y)y^2)
=y+(1/2)θ・e^(θx)((x^2-y^2)sin(y)x^2+2cos(y)xy)

以上、よろしくお願いしたします。

回答No.3

info22 · ベストアンサー

>δ/δx,δ/δy
の記号は
∂/∂x,∂/∂y
の記号「∂」を使ってください。
（「でる」、「すうがく」などででてきます。）
参考)
http://www.fem.info.gifu-u.ac.jp/member/yamachu/kaisekigaku2/05.ppt

以降
R3=(1/3!){x・(∂/∂x)+y・(∂/∂y)}^3 f(θx,θy)
=(1/6){x^3fxxx(θx,θy)+fxxy(θx,θy)+fxyx(θx,θy)
+fyxx(θx,θy)+fxyy(θx,θy)+fyxy(θx,θy)
+fyyx(θx,θy)+fyyy(θx,θy)+fxyx(θx,θy)}
(0<θ<1)
とおきます。

>(1) x+y
>fx(x,y)=1
>fx(0,0)=1
>fy(x,y)=1
>fy(0,0)=0
×
=1
>f(x,y)=0+(0x+0y)+(1/2)(0x^2+2・0xy+0・y^2)=0
×
f(x,y)=0+(1x+1y)+(1/2)(0x^2+2・0xy+0・y^2)+R3=x+y
R3=0

>(2) x^2+y^2
>f(x,y)=0+(0x+0y)+(1/2)(2x^2+2・0xy+2y^2)
+R3
>=x^2+y^2
R3=0

>(3) x^2+2xy+y^2
>f(x,y)=0+(0x+0y)+(1/2)(2x^2+2・2xy+2y^2)
+R3
>=x^2+2xy+y^2=(x+y)^2
R3=0

>(4) x^3+y^3
>f(x,y)=0+(0x+0y)+(1/2)(0・x^2+2・0xy+0・y^2)=0
f(x,y)=0+(0x+0y)+(1/2)(0・x^2+2・0xy+0・y^2)+R3
=0+R3
R3=x^3+y^3

>(5) e^(x)・sin(y)
>f(x,y)=e^(x)・sin(y)
>f(0,0)=e^(0)・sin(0)=1・0=0
>fx(x,y)=e^(x)・sin(y)
>fx(0,0)=e^(0)・sin(0)=1・0=0
>fy(x,y)=e^(x)・cos(y)
>fy(0,0)=e^(0)・cos(0)=1・1=1
>fxx(x,y)=e^(x)・sin(y)
fxx(0,0)=0
>fxy(x,y)=e^(x)・cos(y)
=fyx(x,y)
fxy(0,0)=fyx(0,0)=1
>fyy(x,y)==-e^(x)・sin(y)
fyy(0,0)=0
fxxx(x,y)=
f(xxx(θx,θy)=
fxxy(x,y)=fxyx(x,y)=fyxx(x,y)=
fxxy(θx,θy)=fxyx(θx,θy)=fyxx(θx,θy)=
fxyy(x,y)=fyxy(x,y)=fyyx(x,y)=
fxyy(θx,θy)=fxyx(θx,θy)=fyxx(θx,θy)=
fyyy(x,y)=
fyyy(θx,θy)=fxyx(θx,θy)=fyxx(θx,θy)=
R3=(1/6){x^3fxxx(θx,θy)+fxxy(θx,θy)+fxyx(θx,θy)
+fyxx(θx,θy)+fxyy(θx,θy)+fyxy(θx,θy)
+fyyx(θx,θy)+fyyy(θx,θy)+fxyx(θx,θy)} (0<θ<1)
=
らを計算してください。
そうすると
f(x,y)=y+xy+R3
R3=(1/6)e^(θx)*{x(x^2-3y^2)*sin(θy)+y(3x^2-y^2)*cos(θy)}
(0<θ<1)
が出てきます。

参考URL：

http://markun.cs.shinshu-u.ac.jp/learn/biseki/no_9/cont09_3.html

お礼

いつも大変丁寧な回答をしていただいた上、
記号の間違いも指摘していただき、感謝しております。
ようやく、きっりち理解できた気がします。
本当にありがとうございました。

回答No.2

arrysthmia

＞ 問題文にn=2とあるので、f'''は切り捨てればいいのだろうと考えて

以前の質問( x^5 の展開 )で理解して頂いたかと思っていました。残念です。
誤差項を切り捨ててよかったら、任意の関数が多項式と ＝ になってしまいますね。

m 次多項式を n 次テーラー展開した場合、
n > m の場合は、m+1次項以降と誤差項が 0 になることによって、
n ≦ m の場合は、誤差項が差を埋める適切な多項式になることによって、
結局、展開式はもとの多項式と同一になるのでした。

３次近似では x^3+y^3 ≒ 0+(0x+0y)+(1/2)(0・x^2+2・0xy+0・y^2) ということであって、
決して、 x^3+y^3 = 0+(0x+0y)+(1/2)(0・x^2+2・0xy+0・y^2) ではありません。

x+y や x^2+y^2 の３次展開も、
誤差項は、計算したら値が 0 になったのであって、勝手に切り捨てるのではありません。

参考URL：

http://oshiete1.goo.ne.jp/qa4598665.html

お礼

いつも丁寧な解説をいただき、ありがとうございます。
おっしゃるように、前回の質問では
そのあたりを漠然としか理解していないまま、
機械的に計算式にあてはめて考えていました。
おかげで、ようやく理解できた気がします。
何度も似たような質問をしてしまい、失礼いたしました。
お世話になりました。

回答No.1

proto

(4)の回答に余剰項が含まれていないのは何故ですか？
あなたが示したテイラー展開の定義式にあるθxとθyが、(4)の回答には登場していませんよね。
例えば定義式でfxx(θx,θy)となっている部分に、回答ではfxx(0,0)が当てはめられているようですが、それではおかしいのでは？

お礼

早速のご指導、ありがとうございます。
変数が3次まであるので、そのままマクローリン展開すれば、余剰項がn=3なので、f'''を導かないといけないと考えました。
しかし、問題文にn=2とあるので、f'''は切り捨てればいいのだろうと
考えて、fxx(0,0)をあてはめた次第です。
上記のようにしたものの、この考え方であってるか自信がなく
質問させていただいた次第ですが、
やはりまちがってたようですので、以下のように訂正します。

fxx(θx,θy)=6θx
fxy(θx,θy)=0
fyy(θx,θy)=6θy
よって、
f(x,y)=0+(0x+0y)+(1/2)(6θx^3・x^2+2・0xy+6θy^3)
=3θx^3+3θy^3
=3θ(x^3+y^3)

お世話になりました。