- ベストアンサー
f(x,y)=xe^(xy+2y^2)の第1次及び第2次の偏導関数を求
- みんなの回答 （1）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
f から fx を求めるのも、 fx から fxx を求めるのも、 x で偏微分するのは同じことだし、 式の形も似たようなものだが、 何故、fx は解って、fxx から解らないのか？ そこが判らないと、適切な回答にはならない と思う。 なんで fxx が解らないのが、どこで詰まったのか、 質問者自身が自分の言葉で説明することが必要だ。
関連するQ&A
- f(x,y)=xe^(xy+2y^2)の第1次及び第2次の偏導関数を求
f(x,y)=xe^(xy+2y^2)の第1次及び第2次の偏導関数を求める問題で解答はfx=(1+xy)e^(xy+2y^2),fy=x(x+4y)e^(xy+2y^2),fxx=(2y+xy^2)e^(xy+2y^2), fxy={x+(1+xy)(x+4y)}e^(xy+2y^2),fyy={4x+x(x+4y)^2}e^(xy+2y^2)でそれぞれどのようにして微分されているのかを詳しく教えてください fxxから本当に分からないので教えてください 回答よろしくお願いします
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 高次(階)偏導関数の問題について
高次(階)偏導関数の問題をどうにか解いてみたのですが、 あっているか自信がありません。特に(6)の問題。 わかる方、ご指導よろしくお願いします。 【問題】 次の関数f(x,y)の2次までの変動関数を求めよ。 (1) x^2+3xy+y^2+2 fx(x,y)=2x+3y fy(x,y)=3x+2y fxx(x,y)=2 fxy(x,y)=3 fyx(x,y)=3 fyy(x,y)=2 (2) log(x^2+y^2+1) d/dt log(t)=1/t δ/δx x^2+y^2+1=2x δ/δy x^2+y^2+1=2y 合成関数の微分の公式を適用し、 fx(x,y)=1/(x^2+y^2+1)*2x=2x/(x^2+y^2+1) fy(x,y)=1/(x^2+y^2+1)*2y=2y/(x^2+y^2+1) 商の微分の公式を適用し fxx(x,y)={(2*(x^2+y^2+1)-2x(2x)}/(x^2+y^2+1)^2=-2(x^2-y^2-1)/(x^2+y^2+1)^2 同様に計算し、 fxy(x,y)=-4xy/(x^2+y^2+1)^2 fyx(x,y)=-4xy/(x^2+y^2+1)^2 fyy(x,y)=2(x^2-y^2+1)/(x^2+y^2+1)^2 (3) e^(xy) d/dt log(t)=e^t δ/δx xy=y δ/δy xy=x 合成関数の微分の公式を適用し、 fx(x,y)=e^(xy)*y=y e^(xy) fy(x,y)=e^(xy)*x=x e^(xy) fxx(x,y)=y e^(xy)*y=y^2 e^(xy) fxy(x,y)=y e^(xy)*x=xy e^(xy) fyx(x,y)=x e^(xy)*y=xy e^(xy) fyy(x,y)=x e^(xy)*x=y^2 e^(xy) (4) e^(2x+3y) d/dt log(t)=e^t δ/δx 2x+3y=2 δ/δy 2x+3y=3 合成関数の微分の公式を適用し、 fx(x,y)=e^(2x+3y)*2=2 e^(xy) fy(x,y)=e^(2x+3y)*3=3 e^(xy) fxx(x,y)=2 e^(2x+3y)*2=4 e^(xy) fxy(x,y)=2 e^(2x+3y)*3=6 e^(xy) fyx(x,y)=3 e^(2x+3y)*2=6 e^(xy) fyy(x,y)=3 e^(2x+3y)*3=9 e^(xy) (5) x^2+3xy+4y^2+1 fx(x,y)=2x+3y fy(x,y)=3x+8y fxx(x,y)=2 fxy(x,y)=3 fyx(x,y)=3 fyy(x,y)=8 (6) xy(x^2-y^2)/(x^2+y^2) ((x,y)≠(0,0)) { 0 ((x,y)=(0,0)) fx(0,0)={f(x,0)-f(0,0)}/x=0/x=0 同様に fy(0,0)={f(0,y)-f(0,0)}/y=0/y=0 (x,y)≠0のとき、商の微分の公式を適用して fx(x,y)=y(x^4+4x^2y^2-y^4)/(x^2+y^2)^2 fy(x,y)=x(x^4-4x^2y^2-y^4)/(x^2+y^2)^2 再度、商の微分の公式を適用して fxx(x,y)=-4xy^3(x^2-3y^2)/(x^2+y^2)^3 fxy(x,y)=(x^6+9x^4y^2-9x^2y^4-y^6)/(x^2+y^2)^3 fyx(x,y)=(x^6+9x^4y^2-9x^2y^4-y^6)/(x^2+y^2)^3 fyy(x,y)=-4xy(2x^4+x^2+y^4)/(x^2+y^2)^3 疑問点1 fxx(0,0),fxy(0,0),fyx(0,0),fyy(0,0)についても、 求めなくてもいいのでしょうか？ 疑問点2 商の微分を2回行うことにより、計算結果を導いたのですが、 もっと簡単な手順で導く公式等はないのでしょうか？ たびたびの質問で申し訳ありませんが、 ご指導のほどよろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- f(x,y)=x^2＋y^4の極値
こんばんは！！ タイトルの通り、f(x,y)=x^2＋y^4の極値を求めたいのですが、よく分かりません。。 まず私の解答ですが、、 fx(x,y)=2x, fy(x,y)=4y^3で停留点を求めると、2x=0かつ4y^3=0より(x,y)=(0,0)が停留点である。 また、 fxx(x,y)=2, fxy(x,y)=0, fyy(x,y)=12y^2 であり、(x,y)=(0,0)のとき、 A=fxx(x,y)=2, B=fxy(x,y)=0, H=fyy(x,y)=0 である。 よって AB-H^2=0 ここまではできたのですが、この先が分かりません。 参考書にはAB-H^2=0の場合が載っていないのです。。 上とは異なる解法でもいいので、もし分かる方がいらっしゃいましたら回答よろしくお願い致します！！
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 微分の3次近似多項式について少し質問です＞＜
微分の3次近似多項式について少し質問です＞＜ お願いします。 f(x,y)=e^xyの3次近似多項式を求める問題があったのですがやってみたところ fx=ye^xy fy=xe^xy fxx=y^2・e^xy fyy=x^2・e^xy fxxx=y^3・e^xy fyyy=x^3・e^xy fxy=e^xy+xye^xy fxyx=2ye^xy+xy^2・e^xy fxyy=2xe^xy+x^2・y・e^xy となり近似式にいれるためにそれぞれに(0,0)を代入するとf(0,0)とfxy(0,0)以外すべて0になってしまうのでおかしいのではないかと思い質問しました。 どこがまちがってしまっているでしょうか？？ どうしても分からないので教えてください。 ^xyはxy乗ということを、fxはxでの微分を意味します。 お願いします
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 偏導関数が分かりません
次の関数の偏導関数fx・fyを求めなさい。 （1）ｆ（ｘ、ｙ）＝ｘ＾3ｙ+ｙ＾2 （2）ｆ（ｘ、ｙ）＝ｘsin(xy) (3)ｆ（ｘ、ｙ）＝x^2e-y^2 私自身偏導関数をまったく理解してないので解き方も含めてご教授頂けるとありがたいです。 宜しくお願い致します。
- 締切済み
- 数学・算数
- 2変数関数のテイラーの定理の問題について
どうにか2変数関数のテイラーの定理の問題まで解き進めることができました。 ここまでこれたのも、こちらでご指導くださった皆様のおかげと大変感謝しております。まだまだ勉強不足ですが、引き続きご鞭撻のほど、よろしくお願いしまします。 2変数関数のテイラーの定理の問題を解いてみたのですが、 これであっているのか、ご指導いただければと思います。 特に(5)が自信ないです。 【問題】 次の2変数関数に、n=2の場合の「マクローリンの定理」を適用せよ。 ※2変数関数のマクローリンの定理 f(x,y)=f(0,0) +(1/1!){x・(δ/δx)+y・(δ/δy)} f(0,0) +(1/2!){x・(δ/δx)+y・(δ/δy)}^(2) f(0,0) +… +(1/(n-1)!){x・(δ/δx)+y・(δ/δy)}^(n-1) f(0,0) +(1/n!){x・(δ/δx)+y・(δ/δy)}^(n) f(θx,θy) (0<θ<1) ※2変数関数のマクローリンの定理(n=2の場合) f(x,y)=f(0,0)+{fx(0,0)+fy(0,0)y} +(1/2){fxx(θx,θy)x^(2)+2fxy(θx,θy)xy+fyy(θx,θy)y^(2)} (1) x+y f(x,y)=x+y f(0,0)=0 fx(x,y)=1 fx(0,0)=1 fy(x,y)=1 fy(0,0)=0 fxx(x,y)=0 fxx(0,0)=0 fxy(x,y)=0 fxy(0,0)=0 fyy(x,y)=0 fyy(0,0)=0 2変数関数のマクローリンの定理(n=2)を適用し、 f(x,y)=0+(0x+0y)+(1/2)(0x^2+2・0xy+0・y^2)=0 (2) x^2+y^2 f(x,y)=x^2+y^2 f(0,0)=0 fx(x,y)=2x fx(0,0)=0 fy(x,y)=2y fy(0,0)=0 fxx(x,y)=2 fxx(θx,θy)=2 fxy(x,y)=0 fxy(θx,θy)=0 fyy(x,y)=2 fyy(θx,θy)=2 2変数関数のマクローリンの定理(n=2)を適用し、 f(x,y)=0+(0x+0y)+(1/2)(2x^2+2・0xy+2y^2) =(1/2)(2x^2+2y^2) =x^2+y^2 (3) x^2+2xy+y^2 f(x,y)=x^2+2xy+y^2 f(0,0)=0 fx(x,y)=2x+2y fx(0,0)=0 fy(x,y)=2x+2y fy(0,0)=0 fxx(x,y)=2 fxx(θx,θy)=2 fxy(x,y)=2 fxy(θx,θy)=2 fyy(x,y)=2 fyy(θx,θy)=2 2変数関数のマクローリンの定理(n=2)を適用し、 f(x,y)=0+(0x+0y)+(1/2)(2x^2+2・2xy+2y^2) =(1/2)(2x^2+4xy+2y^2) =x^2+2xy+y^2 =(x+y)^2 (4) x^3+y^3 f(x,y)=x^3+y^3 f(0,0)=0 fx(x,y)=3x^2 fx(0,0)=0 fy(x,y)=3y^2 fy(0,0)=0 fxx(x,y)=6x fxx(0,0)=0 fxy(x,y)=0 fxy(0,0)=0 fyy(x,y)=6y fyy(0,0)=0 2変数関数のマクローリンの定理(n=2)を適用する。 ただし、3次式のため、fxx(x,y),fxy(x,y),fyy(x,y)までの計算とする。 f(x,y)=0+(0x+0y)+(1/2)(0・x^2+2・0xy+0・y^2)=0 (5) e^(x)・sin(y) f(x,y)=e^(x)・sin(y) f(0,0)=e^(0)・sin(0)=1・0=0 fx(x,y)=e^(x)・sin(y) fx(0,0)=e^(0)・sin(0)=1・0=0 fy(x,y)=e^(x)・cos(y) fy(0,0)=e^(0)・cos(0)=1・1=1 fxx(x,y)=e^(x)・sin(y) fxx(θx,θy)=e^(θx)・sin(θy) fxy(x,y)=e^(x)・cos(y) fxy(θx,θy)=e^(θx)・cos(θy) fyy(x,y)=e^(x)・(-sin(y))=-e^(x)・sin(y) fyy(θx,θy)=-e^(θx)・sin(θy) 2変数関数のマクローリンの定理(n=2)を適用し、 f(x,y)=0+(0x+1y) +(1/2)(e^(θx)・sin(θy)・x^2+2・e^(θx)・cos(θy)・xy-e^(θx)・sin(θy)y^2) =y+(1/2)e^(θx)(sin(θy)・x^2+2cos(θy)・xy-sin(θy)y^2) =y+(1/2)θ・e^(θx)(sin(y)x^2+2cos(y)xy-sin(y)y^2) =y+(1/2)θ・e^(θx)((x^2-y^2)sin(y)x^2+2cos(y)xy) 以上、よろしくお願いしたします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 2変数関数について・・・？
2変数関数のz = f(x,y) = x^2 / (x^2 + y^2)の f(x,y),fx,fy,fxx,fxy,fyx,fyy、はどうなるのでしょうか？
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 指数やLogが含まれる2変数関数 f(x,y)の偏微分について
こちらの皆様のおかげで、2変数関数 f(x,y)の偏微分の解き方が ようやく理解できました。大変ありがとうございました。 それで、追加の質問で申し訳ないのですが、 以下の解き方があっているか、ご指導のほど、よろしくお願いします。 【問題】 次の2変数関数f(x,y)を偏微分せよ。 すなわち、関数f(x,y)のxおよびy関する変動関数fx(x,y)およびfy(x,y)を求めよ。 (5) Log √(x^2+y^2+1) 先に質問をした回答より、 fx(x,y)(x^2+y^2+1)=x/√(x^2+y^2+1) fy(x,y)(x^2+y^2+1)=y/√(x^2+y^2+1) また、(Log x)\'=1/xの公式と合わせて, Log √(x^2+y^2+1)のfx(x,y)=√(x^2+y^2+1)/x Log √(x^2+y^2+1)のfx(x,y)=√(x^2+y^2+1)/y (6) e^(xy) fx(x,y)=e^(xy) fy(x,y)=e^(xy) (7) sin xy fx(x,y)=cos xy = y * cos x fy(x,y)=cos yx = x * cos y (8) e^x * sin y fx(x,y)=e^x * sin y fy(x,y)=e^x * cos y (9) x^2 cos xy 積の微分の公式 より、 fx(x,y)=2x * cos xy + x^2(-sin xy) = 2x cos xy -x^2 sin xy fy(x,y)=x^2 * ( -sin xy) = -x^2 sin xy 以上、適用する公式などにおかしいところがあれば、 ご指導お願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 指数やLogが含まれる2変数関数 f(x,y)の偏微分について
こちらの皆様のおかげで、2変数関数 f(x,y)の偏微分の解き方が ようやく理解できました。大変ありがとうございました。 それで、追加の質問で申し訳ないのですが、 以下の解き方があっているか、ご指導のほど、よろしくお願いします。 【問題】 次の2変数関数f(x,y)を偏微分せよ。 すなわち、関数f(x,y)のxおよびy関する変動関数fx(x,y)およびfy(x,y)を求めよ。 (5) Log √(x^2+y^2+1) 先に質問をした回答より、 fx(x,y)(x^2+y^2+1)=x/√(x^2+y^2+1) fy(x,y)(x^2+y^2+1)=y/√(x^2+y^2+1) また、(Log x)'=1/xの公式と合わせて, Log √(x^2+y^2+1)のfx(x,y)=√(x^2+y^2+1)/x Log √(x^2+y^2+1)のfx(x,y)=√(x^2+y^2+1)/y (6) e^(xy) fx(x,y)=e^(xy) fy(x,y)=e^(xy) (7) sin xy fx(x,y)=cos xy = y * cos x fy(x,y)=cos yx = x * cos y (8) e^x * sin y fx(x,y)=e^x * sin y fy(x,y)=e^x * cos y (9) x^2 cos xy 積の微分の公式 より、 fx(x,y)=2x * cos xy + x^2(-sin xy) = 2x cos xy -x^2 sin xy fy(x,y)=x^2 * ( -sin xy) = -x^2 sin xy 以上、適用する公式などにおかしいところがあれば、 ご指導お願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
