マクローリンの定理の簡易版？について

質問

前回、2変数関数のマクローリンの定理について質問したものです。
こちらで正しい解き方を教えていただいたのですが、
講義で配布された資料の解き方と少し違っていたので、
詳しい方に、念のため再アドバイスをお願いしたいのです。

2変数関数のマクローリンの定理(n=2)を適用した場合、
x^2+y^2なら、
x^2+y^2
R3=0

ただし、R3=(1/3!){x・(∂/∂x)+y・(∂/∂y)}^3 f(θx,θy)
=(1/6){x^3fxxx(θx,θy)+fxxy(θx,θy)+fxyx(θx,θy)
+fyxx(θx,θy)+fxyy(θx,θy)+fyxy(θx,θy)
+fyyx(θx,θy)+fyyy(θx,θy)+fxyx(θx,θy)}
(0<θ<1)

と表せると教えていただいたのですが、
私が講義で配布された資料では、マクローリンの定理の簡易版？の
2変数関数のマクローリンの定理(n=2の場合)
f(x,y)=f(0,0)+{fx(0,0)+fy(0,0)y}
+(1/2){fxx(θx,θy)x^(2)+2fxy(θx,θy)xy+fyy(θx,θy)y^(2)}
を用いて答えを出していました。

たとえば、e^(x+2y)にマクローリンの定理を適用した場合の
答えは、資料ではR3は使わず、上で示した定理にあてはめて
f(x,y)=1+x+2y+(1/2)e^(θ(x+2y))((x+2y)^2
同様に、cos(x+2y)でも、
f(x,y)=1-cos(θ(x+2y))(x+2y)^2
となっていました。
x^3+y^3も、
こちらで教えていただいた答え
f(x,y)=0+R3
R3=x^3+y^3
ではなく、
3θ(x^3+y^3)になってました。

ちなみに担当教員からは、nより変数の次数が大きい場合は
そこで計算を打ち切ってしまっていいと言われましたので、
お恥ずかしいながら、そんなものかと漠然と理解していた次第です。

おそらく、こちらで教えていただいた方法が正しい方法で
講義で教わった解き方は、この授業でのみ通用する
簡易版みたいなものだと思うのですが、
その認識であってますでしょうか？

何度も申し訳ありませんが、確認のほどよろしくお願いします。

回答No.1

arrysthmia · ベストアンサー

講義資料の式は、
f(x,y) = f(0,0) + { fx(0,0) x + fy(0,0) y } + R2,
R2 = (1/2){ fxx(θx,θy) x^2 + 2 fxy(θx,θy) xy + fyy(θx,θy) y^2 }
であって、
R3 = (1/3!){ x・(∂/∂x) + y・(∂/∂y) }^3 f(θx,θy) を使う式とは、
展開の次数が 1 次ズレています。

「マクローリンの定理(n=2 の場合)」という言い方が不正確で、
何を n と呼んでいるかのが明瞭でない ことから生じた混乱だと思います。
どちらが正しくて どちらが誤り という性質の話でもないので、
資料で「n=2 の場合」と言ったときに、何次の近似をしているか 確認しておく
のがよいでしょう。 講義のローカル・ルールに従うのが得策です。

＞ ちなみに担当教員からは、nより変数の次数が大きい場合は
＞ そこで計算を打ち切ってしまっていいと言われましたので、

その「打ち切っていい」は、打ち切ったものが n 次近似多項式になる という意味で、
打ち切ったものが もとの関数とイコールになるという意味ではありません。
0 ではない Rn を無視してしまうから、等式ではなく、近似式なのです。

Rn が無視できるか否かは、数値計算上の必要に応じて、主観的に判断することで、
物理とか化学とか、数学を使用する個々の応用分野に属する問題です。
数学的には、一部の項を勝手に無視すれば、当然 ≠ になります。

お礼

さっそく回答していただき、ありがとうございます。
ご指摘の通り、nの意味がよくわかってなかったために、こちらの皆様にも同じような質問を繰り返し、ご迷惑をおかけしました。
丁寧に解説していただき、ようやくわかったような気がします。

n=2の件については、次の講義で確認してみたいと思います。
（資料では特に解説もなく使われており、講義でも言及されなかったもので。）

こちらで指導していただいた内容のほうが、担当教員の講義より
遥かに分かりやすかったです。ここまで来れたのも皆様のおかげです。
大変お世話になりました。