- ベストアンサー
テイラー展開
f(x,y) = 3x^2+4xy-5y^2の(1,-2)のまわりでの２次のテイラー展開を求める問題なのですが テイラー展開は f(x,y) = f(1,-2) + (fx(1,-2)x + fy(1,-2)y)+1/2(fxx(1,-2)x^2 + 2fxx(1,-2)xy + fyy(1,-2)y^2) + R3 でいいのでしょうか？ これから第二近似を行うと fxxx = fyyy = 0であるからR3=0 つまり、 f(1,-2) = -25 - 2x -4y + 3x^2 -5y^2 + 4xy これでいいのでしょうか？ もしかしたら２変数におけるテイラー展開を誤って学習してしまったかもしれないので。
- melthig
- お礼率9% (2/22)
- 数学・算数
- 回答数3
- ありがとう数0
- みんなの回答 （3）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
＞もしかしたら２変数におけるテイラー展開を誤って学習してしまったかもしれないので。 そうですね。間違っていますね。 参考URLに例題が載っていますので、学習しなおして、例題に習ってやってきてください。 http://markun.cs.shinshu-u.ac.jp/learn/biseki/no_9/cont09_3.html 質問があれば、解答を補足に書いて、分からない箇所を質問して下さい。
その他の回答 (2)
- k_m__
- ベストアンサー率50% (4/8)
授業プリント p.62 の一番下の方にある式に数値を代入するだけ。 答え方としては，f(x,y)=... という形になる。 詳しい解答例は 12/18 以降にネットで公開される。それを見よ。 なお，f が2次の多項式なので，答えは f 自身に一致する。 したがって計算が合っているかどうかは自分で確認できる。
- info22
- ベストアンサー率55% (2225/4034)
#1です。補足質問の回答です。 > テイラー展開は の式は間違っています。 ((x-1)D1 + (y+2)D2)f(x,y) の項は F1=(x-1)fx(1,-2)+(y+2)f(1,-2) …(A) ここで、fx(x,y)=D1 f(x,y),fy(x,y)=D2 f(x,y)です。 また (1/2!)((x-1)D1+(y+2)D2)^2f(x,y) の項は ((x-1)D1+(y+2)D2)^2 f(x,y) =(x-1)^2 D1^2 f(x,y)+(x+2)^2 D2^2 f(x,y) +(x-1)(y+2){D2(D1 f(x,y))+D1(D2 f(x,y))} =(x-1)^2 fxx(x,y)+(x+2)^2 fyy(x,y) +(x-1)(y+2){fxy(x,y)+fyx(x,y)} ですから F2=(1/2!)[(x-1)^2 fxx(1,-2)+(x+2)^2 fyy(1,-2) +(x-1)(y+2){fxy(1,-2)+fyx(1,-2)}] …(B) ここで、fxx(x,y)=D1^2 f(x,y),fyy(x,y)=D2^2 f(x,y), fxy(x,y)=D2(D1 f(x,y)),fyx(x,y)=D1(D2 f(x,y)) です。 従って正しい展開式は f(x,y) = f(1,-2) +F1+F2+R3= f(1,-2) +F1+F2…(C) ここで与えられたf(x,y)の場合 R3=0になります。 ＞そうすると ＞f(1,-2) = -25 この後は間違いです。 上記のF1,F2の式を使って下さい。 ＞この式って展開しないほうがいいのでしょうか？ 式は間違っています。 ＞で最終的な形は (x-1),(y+2),(x-1)^2,(y+2)^2,(x-1)(y+2)の項は展開しない方が 良いですね。 f(x,y)の計算をしてみて結果に自信がなければ 結果の式を補足に書いて下さい。チェックします。
関連するQ&A
- 2変数関数のテイラーの定理の問題について
どうにか2変数関数のテイラーの定理の問題まで解き進めることができました。 ここまでこれたのも、こちらでご指導くださった皆様のおかげと大変感謝しております。まだまだ勉強不足ですが、引き続きご鞭撻のほど、よろしくお願いしまします。 2変数関数のテイラーの定理の問題を解いてみたのですが、 これであっているのか、ご指導いただければと思います。 特に(5)が自信ないです。 【問題】 次の2変数関数に、n=2の場合の「マクローリンの定理」を適用せよ。 ※2変数関数のマクローリンの定理 f(x,y)=f(0,0) +(1/1!){x・(δ/δx)+y・(δ/δy)} f(0,0) +(1/2!){x・(δ/δx)+y・(δ/δy)}^(2) f(0,0) +… +(1/(n-1)!){x・(δ/δx)+y・(δ/δy)}^(n-1) f(0,0) +(1/n!){x・(δ/δx)+y・(δ/δy)}^(n) f(θx,θy) (0<θ<1) ※2変数関数のマクローリンの定理(n=2の場合) f(x,y)=f(0,0)+{fx(0,0)+fy(0,0)y} +(1/2){fxx(θx,θy)x^(2)+2fxy(θx,θy)xy+fyy(θx,θy)y^(2)} (1) x+y f(x,y)=x+y f(0,0)=0 fx(x,y)=1 fx(0,0)=1 fy(x,y)=1 fy(0,0)=0 fxx(x,y)=0 fxx(0,0)=0 fxy(x,y)=0 fxy(0,0)=0 fyy(x,y)=0 fyy(0,0)=0 2変数関数のマクローリンの定理(n=2)を適用し、 f(x,y)=0+(0x+0y)+(1/2)(0x^2+2・0xy+0・y^2)=0 (2) x^2+y^2 f(x,y)=x^2+y^2 f(0,0)=0 fx(x,y)=2x fx(0,0)=0 fy(x,y)=2y fy(0,0)=0 fxx(x,y)=2 fxx(θx,θy)=2 fxy(x,y)=0 fxy(θx,θy)=0 fyy(x,y)=2 fyy(θx,θy)=2 2変数関数のマクローリンの定理(n=2)を適用し、 f(x,y)=0+(0x+0y)+(1/2)(2x^2+2・0xy+2y^2) =(1/2)(2x^2+2y^2) =x^2+y^2 (3) x^2+2xy+y^2 f(x,y)=x^2+2xy+y^2 f(0,0)=0 fx(x,y)=2x+2y fx(0,0)=0 fy(x,y)=2x+2y fy(0,0)=0 fxx(x,y)=2 fxx(θx,θy)=2 fxy(x,y)=2 fxy(θx,θy)=2 fyy(x,y)=2 fyy(θx,θy)=2 2変数関数のマクローリンの定理(n=2)を適用し、 f(x,y)=0+(0x+0y)+(1/2)(2x^2+2・2xy+2y^2) =(1/2)(2x^2+4xy+2y^2) =x^2+2xy+y^2 =(x+y)^2 (4) x^3+y^3 f(x,y)=x^3+y^3 f(0,0)=0 fx(x,y)=3x^2 fx(0,0)=0 fy(x,y)=3y^2 fy(0,0)=0 fxx(x,y)=6x fxx(0,0)=0 fxy(x,y)=0 fxy(0,0)=0 fyy(x,y)=6y fyy(0,0)=0 2変数関数のマクローリンの定理(n=2)を適用する。 ただし、3次式のため、fxx(x,y),fxy(x,y),fyy(x,y)までの計算とする。 f(x,y)=0+(0x+0y)+(1/2)(0・x^2+2・0xy+0・y^2)=0 (5) e^(x)・sin(y) f(x,y)=e^(x)・sin(y) f(0,0)=e^(0)・sin(0)=1・0=0 fx(x,y)=e^(x)・sin(y) fx(0,0)=e^(0)・sin(0)=1・0=0 fy(x,y)=e^(x)・cos(y) fy(0,0)=e^(0)・cos(0)=1・1=1 fxx(x,y)=e^(x)・sin(y) fxx(θx,θy)=e^(θx)・sin(θy) fxy(x,y)=e^(x)・cos(y) fxy(θx,θy)=e^(θx)・cos(θy) fyy(x,y)=e^(x)・(-sin(y))=-e^(x)・sin(y) fyy(θx,θy)=-e^(θx)・sin(θy) 2変数関数のマクローリンの定理(n=2)を適用し、 f(x,y)=0+(0x+1y) +(1/2)(e^(θx)・sin(θy)・x^2+2・e^(θx)・cos(θy)・xy-e^(θx)・sin(θy)y^2) =y+(1/2)e^(θx)(sin(θy)・x^2+2cos(θy)・xy-sin(θy)y^2) =y+(1/2)θ・e^(θx)(sin(y)x^2+2cos(y)xy-sin(y)y^2) =y+(1/2)θ・e^(θx)((x^2-y^2)sin(y)x^2+2cos(y)xy) 以上、よろしくお願いしたします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 誤差のO-記法 多変数の場合
F(x,y)のテイラー展開をベクトルを用いずに表記した場合 F(x,y)= F(0,0) + [ Fx(0,0), Fy(0,0) ]・[ x, y ] + [ Fxx(0,0), Fxy(0,0), Fyy(0,0) ]・[ x^2, xy, y^2 ] + ... となりますが 例えばこの場合に二次のオーダーの誤差をＯ-記法で書く際には どのように書くのが正しいのでしょうか Ｏ(x^2,y^2) などと書いてよいのでしょうか
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 微分の3次近似多項式について少し質問です＞＜
微分の3次近似多項式について少し質問です＞＜ お願いします。 f(x,y)=e^xyの3次近似多項式を求める問題があったのですがやってみたところ fx=ye^xy fy=xe^xy fxx=y^2・e^xy fyy=x^2・e^xy fxxx=y^3・e^xy fyyy=x^3・e^xy fxy=e^xy+xye^xy fxyx=2ye^xy+xy^2・e^xy fxyy=2xe^xy+x^2・y・e^xy となり近似式にいれるためにそれぞれに(0,0)を代入するとf(0,0)とfxy(0,0)以外すべて0になってしまうのでおかしいのではないかと思い質問しました。 どこがまちがってしまっているでしょうか？？ どうしても分からないので教えてください。 ^xyはxy乗ということを、fxはxでの微分を意味します。 お願いします
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 合成関数を利用したテイラー展開
f(x,y) = e^xyの(0,0)のまわりでの２次のテイラー展開を求め、剰余項R3の具体的な形を求める問題なんですが・・・・ ２変数関数におけるテイラーの展開をこの前ならったので間違って展開している可能性があります。 おそらくt = xyとしてテイラー展開すると・・・・ t + 1 / 2!t^2 + R3 (x,y) = (0,0) よりt = 0であるから R3 = 1？ なのでしょうか？
- 締切済み
- 数学・算数
- 2変数関数について・・・？
2変数関数のz = f(x,y) = x^2 / (x^2 + y^2)の f(x,y),fx,fy,fxx,fxy,fyx,fyy、はどうなるのでしょうか？
- ベストアンサー
- 数学・算数
- テイラー展開について教えてください
3変数のテイラー展開は写真のようになりますが zがx,yに依存する関数である時 つまりz=f(x,y) とし r↑(x+dx,y+dy,f(x+dx,y+dy)) の(x,y,f(x,y))でのテイラー展開をすると なぜ dz(∂r/∂z)の項が消えるのか説明してください。 どうかよろしくお願いします。 dx,dy,dzは変化量です
- ベストアンサー
- 数学・算数
- テイラーの定理の問題
前回注意を受けたんで質問の形式を変えます。 問題はテイラーの定理により、関数f(x,y)＝x^3-3xy+y^3を点（2、-1）のまわりでx-2、y+1の二次式で近似せよなんですが、「点（2,-1）の周りでテイラー展開する」と「点（2、-1）のまわりでx-2、y+1の二次式で近似する」とは違う意味ですかね？ 点（2,-1）の周りでテイラー展開するのはなんとかできるようになったんですが、「x-2、y+1の二次式で近似する」の意味がわかりません。 ご教授よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 問題が解けません誰か解法と答えを教えてください
２変数関数ｆ（ｘ、ｙ）＝ｘ^3-3x+3xy^2について （１）連立方程式ｆｘ（ｘ、ｙ）＝ｆｙ（ｘ、ｙ）＝０を解け (2)不等式fxx(x,y)fyy(x,y)-{fxy(x,y)}^2>0の表す領域を図示せよ （３）f(x,y)の極値を求めよ です、お願いします。
- 締切済み
- 数学・算数
- 偏微分の問題なんですが…。
すごい初歩的だと思いますが、F=F(x,y)のとき Yxx=∂/∂x(-Fx/Fy)=? ?をFx,Fy,Yx,Fxx,Fyyを用いて表すとどうなりますか？
- 締切済み
- 数学・算数
- テーラー展開について
テーラー展開を用いて指数関数を多項式にしたいのですが、 f(x) = EXP(x) = 1 + 1 / 1! * x + 1 / 2! * x^2 + … というのは理解しているのですが f(x,y) = EXP(x + y)といった2変数の場合のテーラー展開やり方がわかりません。 一体どうのようにすればいいのでしょうか？
- 締切済み
- 数学・算数
補足
まず準備で fx = 6x + 4y, fxx = 6 fy = 4x - 10y, fyy = -10 fxy = fyx = -4 これはいいのですよね？ ということはテイラー展開は f(x,y) = f(1,-2) + ((x-1)D1 + (y+2)D2)f(x,y)+1/2!((x-1)D1+(y+2)D2)^2f(x,y) ということ？ そうすると f(1,-2) = -25 ((x-1)D1 + (y+2)D2)f(x,y) = (x-1)(6x + 4y) + (y+2)(4x - 10y) =6x^2 - 10y^2 + 2x - 24y + 8xy ↑この式って展開しないほうがいいのでしょうか？とりあえず不安なので展開しました。 1/2!((x-1)D1+(y+2)D2)^2f(x,y) = 3(x-1)^2 + 4(x-1)(y + 2) + 4(x-1)(y + 2) -10(y + 2) = 3x^2 - 5y^2 + 2x - 24y + 4xy -25 で最終的な形は f(x,y) = -25 + 6x^2 - 10y^2 + 2x - 24y + 8xy + 3x^2 - 5y^2 + 2x - 24y + 4xy -25 = 9x^2 - 15y^2 + 4x - 48y + 12xy -50 となったのですが・・・・・これが答えでよろしいのでしょうか？