- 締切済み
合成関数を利用したテイラー展開
f(x,y) = e^xyの(0,0)のまわりでの２次のテイラー展開を求め、剰余項R3の具体的な形を求める問題なんですが・・・・ ２変数関数におけるテイラーの展開をこの前ならったので間違って展開している可能性があります。 おそらくt = xyとしてテイラー展開すると・・・・ t + 1 / 2!t^2 + R3 (x,y) = (0,0) よりt = 0であるから R3 = 1？ なのでしょうか？
- 数学・算数
- 回答数4
- ありがとう数2
- みんなの回答 （4）
- 専門家の回答
みんなの回答
- JJrJ
- ベストアンサー率0% (0/0)
授業で教えて！gooなどの質問サイトを提出期限前に利用することを禁止すると言われた筈ですが、どうお考えなのでしょうか。
- k_m__
- ベストアンサー率50% (4/8)
e^t の t=0 のまわりでの展開がそもそも間違っている。正しくは e^t=1+t+t^2/2+R3. この式において，きちんと R3 の具体的な形を書くこと。 そうすれば t=xy のときの剰余項 R3 の形もすぐにわかる。
- info22
- ベストアンサー率55% (2225/4034)
#1です。 ＞f(0,0) = 1 ＞(xD1 + yD2)f(x,y) = xfx(x,y) + yfy(x,y) ＞よってxf(0,0) + yf(0,0) = 0 ＞この時点でなぜか０がでてしまいました。 xfx(0,0) + yfy(0,0) の間違いですが、=0になります。 ＞(xD1 + yD2)^2f(x,y) = x^2fxx(x,y) + 2xyfxy(x,y) + y^2fyy(x,y) ＞よって x^2fxx(0,0) + 2xyfxy(0,0) + y^2fyy(0,0) = 0 ＞再び0が・・・・・・ これは間違いです。 fxx(0,0)=fyy(0,0)=0ですがfxy(0,0)≠0 ですから、=0にはなりません。 fxy(x,y),fyx(x,y)の計算をちゃんとしましたか？ 以降、この影響で正しいA#1で書いた結果の式が出てきません。 fx(x,y),fy(x,y),fxx(x,y),fyy(x,y),fxy(x,y),fyx(x,y) の式が書いてありませんのでどの式が間違いかは正確に指摘できませんが、 fxy(x,y),fyx(x,y)以外の式は全て正しく計算されていると想定して 回答しました。 計算しなおして見て下さい。
- info22
- ベストアンサー率55% (2225/4034)
参考URLに２変数関数におけるテイラーの展開の例題がありますので 少し復習がてら勉強しなおしてから 問題を解いてください。 それでも分からなければ、やった解答を補足に書いて分からない箇所を質問して下さい。 参考までに 解答はf(x,y)=1+xy+R3, R3=e^(xy)-1-xy となります。
関連するQ&A
- テイラー展開
f(x,y) = 3x^2+4xy-5y^2の(1,-2)のまわりでの２次のテイラー展開を求める問題なのですが テイラー展開は f(x,y) = f(1,-2) + (fx(1,-2)x + fy(1,-2)y)+1/2(fxx(1,-2)x^2 + 2fxx(1,-2)xy + fyy(1,-2)y^2) + R3 でいいのでしょうか？ これから第二近似を行うと fxxx = fyyy = 0であるからR3=0 つまり、 f(1,-2) = -25 - 2x -4y + 3x^2 -5y^2 + 4xy これでいいのでしょうか？ もしかしたら２変数におけるテイラー展開を誤って学習してしまったかもしれないので。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- テイラー展開について教えてください
3変数のテイラー展開は写真のようになりますが zがx,yに依存する関数である時 つまりz=f(x,y) とし r↑(x+dx,y+dy,f(x+dx,y+dy)) の(x,y,f(x,y))でのテイラー展開をすると なぜ dz(∂r/∂z)の項が消えるのか説明してください。 どうかよろしくお願いします。 dx,dy,dzは変化量です
- ベストアンサー
- 数学・算数
- テーラー展開について
テーラー展開を用いて指数関数を多項式にしたいのですが、 f(x) = EXP(x) = 1 + 1 / 1! * x + 1 / 2! * x^2 + … というのは理解しているのですが f(x,y) = EXP(x + y)といった2変数の場合のテーラー展開やり方がわかりません。 一体どうのようにすればいいのでしょうか？
- 締切済み
- 数学・算数
- 実関数のテーラー展開と複素関数のテーラー展開の違い
実関数のテーラー展開はテーラーの定理から、複素関数のテーラー展開はコーシーの積分公式とグルサの定理から導かれますが、複素関数のテーラー展開で、実関数のときのようなラグランジュの剰余項がないのはなぜですか？
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 2変数関数のテイラー展開
sin(x^2+y^2)を点 (1,1) のまわりに二次の項までテイラー展開する 合ってますでしょうか？ 偏導関数の計算は wolframa でやりました（笑）。 f_x = 2x・cos(x^2+y^2) f_y = 2y・cos(x^2+y^2) f_xx = 2{ cos(x^2+y^2) - 2x^2・sin(x^2+y^2) } f_xy = -4xy・sin(x^2+y^2) f_yy = 2{ cos(x^2+y^2) - 2y^2・sin(x^2+y^2) } f_x(1,1) = 2cos(2) f_y(1,1) = 2cos(2) f_xx(1,1) = 2{ cos(2) - 2sin(2) } f_xy(1,1) = -4sin(2) f_yy(1,1) = 2{ cos(2) - 2sin(2) } f(1+x,1+y)≒ f(1,1) + f_x(1,1)x + f_y(1,1)y + (1/2){ f_xx(1,1)x^2 + 2f_xy(1,1)xy + f_yy(1,1)y^2 } = sin(2) + 2cos(2)・x + 2cos(2)・y + (1/2){ 2(cos(2)-2sin(2))x^2 - 8sin(2)xy + 2(cos(2)-2sin(2))y^2 }
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 2変数テイラー展開が分かりません。
見ていただきありがとうございます。 問題はこちらです。 次の関数f（x，y）のx=0、y=0におけるテイラー展開を3次の項まで求めよ。 f（x，y）=1/ルート（4ーx^2ーy^2） 解き方、解答ともに分かりません。 もし分かる方がいましたら回答よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 陰関数のテイラー展開
わからない問題あるのでよろしければどなたか教えてください。 点(x,y)=(1,1)の周りで式( x^2 + y^2 )^2 = 4xy で与えられる陰関数y=Y(x)のx=1を中心とする2次のテイラー展開を求めよ。 という問題なのですが…。 この手の問題の"陰関数"っていうのが、なんど教科書等読んでもしっくりきません。 どなたかよろしければ教えていただけるとありがたいです。 よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- テイラー展開の問題について教えてください
次の問題を教えてください。 問．関数f(x,y)=√1+ax+byを原点(0,0)の周りでテイラー展開し、３次の項まで表せ。 よろしくおねがいしますｍ（＿ ＿）ｍ
- 締切済み
- 数学・算数
補足
かんがえたのですが＃１さんの答えになりません・・・・・。 f(0,0) = 1 (xD1 + yD2)f(x,y) = xfx(x,y) + yfy(x,y) よってxf(0,0) + yf(0,0) = 0 この時点でなぜか０がでてしまいました。 (xD1 + yD2)^2f(x,y) = x^2fxx(x,y) + 2xyfxy(x,y) + y^2fyy(x,y) よって x^2fxx(0,0) + 2xyfxy(0,0) + y^2fyy(0,0) = 0 再び0が・・・・・・ そうすると・・・ f(x,y) = 1 + R3 R3 = ? R3の求め方って・・・・・？？ ってな感じです。