微分

質問

(x)=a(sin(x))^3+bcos(x)+2　(0≦x≦π)
はx=π/6で極小値2+5√3をとる。

定数a,bの値を求めよ。またf(x)の最大値、最小値とそれを与えるxの値を求めよ。

代入して計算し40√3=a+4√(3)b
与式を両辺xで微分して整理し4√(3)-1=8√(3)a-4b

上を解いてa=(39√(3)-12)/25,b=(4√(3)+961)/100

まで出すことができましたが、そこからの解き方がわかりません。
上のa,bの値も間違いがあれば教えていただけないでしょうか。
お願いします。

回答No.3

sanori · ベストアンサー

こんにちは。

sin（π／６）＝　１／２
cos（π／６）＝　（√３）／２

２　＋　５√３　＝　ａ・（１／２）^3　＋　ｂ・（√３）／２　＋　２
５√３　＝　ａ／８　＋　（√３）ｂ／２　　・・・（あ）

（a(sin(x))^3+bcos(x)+2）’
　＝　ａ・cosｘ・３・（sinｘ）^2　－　ｂ・sinｘ

ａ・（√３）／２・３・（１／２）^2　－　ｂ・１／２　＝　０
３√３・ａ／８　－　ｂ／２　＝　０　　・・・（い）

（い）より
ｂ／２　＝　３√３・ａ／８
これを（あ）に代入。
５√３　＝　ａ／８　＋　（√３）３√３・ａ／８
５√３　＝　ａ／８　＋　９ａ／８
５√３　＝　５ａ／４
√３　＝　ａ／４
ａ　＝　４√３

ｂ　＝　２・３√３・ａ／８　＝　２・３√３・４√３／８
　＝　９

よって、
ｆ（ｘ）＝　４√３・（sinｘ）^2　＋　９・cosｘ　＋　２

ｆ’（ｘ）　＝　ａ・cosｘ・３・（sinｘ）^2　－　ｂ・sinｘ
　＝　１２√３・cosｘ・（sinｘ）^2　－　９・sinｘ

０　＝　１２√３・cosｘ・（sinｘ）^2　－　９・sinｘ
sinｘ≠０　の場合、極大、極小のとき、
０　＝　４√３・cosｘ・sinｘ　－　３
３／（４√３）　＝　cosｘ・sinｘ
３（√３）／（４・３）　＝　cosｘ・sinｘ
（√３）／４　＝　cosｘ・sinｘ

加法定理
sin(a+b) = sina・cosb + sinb・cosa
で　ａ＝ｂ　ならば
sin(2a) = 2sina・cosb
sina・cosb = sin(2a)/2

よって、
（√３）／４　＝　sin（２ｘ）／２
sin（２ｘ）　＝　（√３）／２
のときに極大や極小になります。

つまり、２ｘ　の範囲を　０～２π　（０°～３６０°）　として、
その範囲の中で、
sin（２ｘ）　＝　（√３）／２
となるようなポイントを探せば良いわけですね。

ここまで来れば、大丈夫なのでは？

以上、ご参考になりましたら。

お礼

回答有難うございました。
f(x)の微分が間違っていたというのが原因だと気づきました。

現在公立高校の高２で、この範囲がまったく分からずにいたので丁寧な解説が非常に助かりました。

回答No.2

ron-zacapa

「与式を両辺xで微分して整理し4√(3)-1=8√(3)a-4b」
の部分に間違いがあると思います。

f(x)がX=π/6で極小値をとるということは、f'(π/6)=0ということです。これを計算すると、b=(3√3/4)aという関係式が出てくるので、これと40√3=a+4√(3)bを計算すればa,bが出てきます。

f(x)の微分は大丈夫でしょうか。
f'(x)=3acosx(sinx)^2-bsinx
=sinx(3acosxsinx-b)
=sinx{(3/2)asin2x-b}　←二倍角の公式
です。最後の式変形を行う理由は、後で増減を考えやすくするためです。

最大値最小値は、求めたa,bの値を微分した式に代入し、増減表を考え(範囲に注意！)、最大値の候補と最小値の候補を絞りだすことから始めます。結論から言ってしまうと、x=0,π/3が最大、π/6,πが最小の候補です。どのxで最大最小となるかは、自分で計算してみてください。

僭越ながらアドバイスをさせていただきますと、aやbの値を求めた時点で、かなり汚い数字になっていますよね。この時点で計算間違いを疑いましょう。作問者は、受験生に煩雑な計算がしてほしいわけではなく、公式や定理がちゃんと使えるかをみたいので、値が奇麗になるように、ある程度数字を調整してきます。汚い数字になったら、計算ミスを疑い、一度見直しをしてみるなりしましょう。

お礼

おっしゃるとおり、f(x)の微分ができていませんでした。

汚い数字になった時点で間違っているのではないかと思いましたが、そもそもa(sinx)^3+bcosx+2の微分の仕方が良く分かっていませんでした。
回答有難うございました。

回答No.1

Tyash

f(x)=a(sinx)^3+bcosx+2　(0≦x≦π) において
f’(x)=3a(sinx)^2cosx-bsinx
=sinx(3asinxcosx-b)
=3a/2sinx(sin2x-2b/3a)
1)a=0のとき
f’(x)=-bsinxとなり、ｆ’（π/6）=-bsinπ/6≠0より不適
2)a≠0のとき
(0≦x≦π)の範囲内で(　)の外側は常に０以上なのでf(x)がx=π/6 (0≦x≦π) で極小値を取る場合
ｆ’（π/6）=3a/2sin(π/6)(sin(π/3)-2b/3a)=0　
sin(π/3)-2b/3a=0　（sinπ/6≠0)
√3/2-2b/3a=0　・・・（１）式とする
f(π/6)=a(sin(π/6))^3+bcos(π/6)+2
=a/8+√3b/2+2=2+5√3　・・・（２）式とする
上記の（１）式、（２）式から、a=4√3、b=9　となるので、
f(x)=4√3(sinx)^3+9cosx+2
ｆ’（x）=6√3sinx(sin2x-√3/2)=0
となり0<2x<2πなのでπ/3≦2x≦2π/3のときｆ’（x）≧0、それ以外はｆ’（x）＜0
増減表は次の通り
x 0 ・・・・・ π/6　　 ・・・・・ π/3 ・・・・・ π
ｆ’（x） 0 - 　　 0 　　　 + 　　 0 - 0
f(x) 　　　　１１　　　下　　2+5√3　　上 　　１１　　下　　 －７

最大値＝11　（x=0のときとπ/3のとき)
最小値＝-7　（x=πのとき)

となりましたが検算する気力がありません。
やっつけでごめんなさい。

お礼

回答、有難うございました