- ベストアンサー
微分式
- みんなの回答 （2）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
- ベストアンサー
課題の丸投げには、そのまま回答するわけにはいかないので、ヒントだけを書きます。 三角関数の加法定理、積の微分公式
その他の回答 (1)
関連するQ&A
- 偏微分・全微分を使った証明
力学のある問題の証明で困っております。 z(x,y） zはx,yを変数に持つ関数（式は具体的には指定されていない） x=rcosα-ssinα y=rsinα+scosα （αは定数） の時 ∂^2ｚ/∂x^2+∂^2z/∂y^2 = ∂^2z/∂r^2+∂^2z/∂s^2 を証明せよ。 （^2は二階微分） です。 全微分を駆使して証明するようなのですが、私のやり方では右辺を展開する途中で ∂^2z/（∂r∂x）cosα+∂^2z/（∂r∂y）sinα-∂^2z/（∂s∂x）sinα+∂^2z/（∂s∂y）cosα が出てきました。（ここまで合ってればいいのですが・・・） そうすると、sinαとcosαの係数にある微分記号の分母∂ｘ,∂yが邪魔で、この先どう変形して良いのかわからず、左辺の式まで持っていけません。 どなたかわかりませんでしょうか？
- ベストアンサー
- 物理学
- 全微分可能性の問題です。(再考しました)
回答者の皆様にはいつもお世話になります。 以下の全微分の問題ですが、全微分可能性の厳密な理解が私自身できていない気がします。 お知恵をお貸しください。 問題：f(x,y)が点(a,b)で全微分可能である事の定義を示し、それを利用してf(x,y)=√(1-x^2-y^2)の原点での微分可能性を証明せよ。 f(x,y)がxとyについて偏微分可能である。(fx,fyと表現します) f(x,y)を点(a,b)の周りで一次近似する最良の平面はf(a,b)+fx(a,b)(x-a)+fy(a,b)(y-b)であり、その誤差εはf(x,y)-{f(a,b)+fx(a,b)(x-a)+fy(a,b)(y-b)}となる。 (x,y)→(a,b)の時、この誤差εがベクトル((x-a),(y-b))の絶対値√((x-a)^2＋(y-b)^2)より先に0になれば微分可能なので、lim[(x,y)→(a,b)] [f(x,y)-{f(a,b)+fx(a,b)(x-a)+fy(a,b)(y-b)}] / √((x-a)^2＋(y-b)^2)=0がf(x,y)の点(a,b)における全微分可能の定義となる。 f(x,y)=√(1-x^2-y^2)のとき、f(0,0)=1 fx(x,y)=-2x・{1/2√(1-x^2-y^2)}より、fx(0,0)=0 fy(x,y)=-2y・{1/2√(1-x^2-y^2)}より、fy(0,0)=0 ∴ε=√(1-x^2-y^2)-1-{0・(x-0)＋0・(y-0)}=√(1-x^2-y^2)-1 又ベクトル(x-0,y-0)の絶対値は√(x^2+y^2) 以上より、lim[(x,y)→(0,0)] {√(1-x^2-y^2)-1}/√(x^2+y^2)=0の時、全微分可能 極座標で考えると、(x,y)→(0,0)の時、r→0であり、x=r・cosθ,y=r・sinθ、 代入してlim[ｒ→0] {√(1-r^2)-1}/r、分子を有理化して、 lim[ｒ→0] -r^2/{r√(1-r^2)+1}=lim[ｒ→0] -r/{√(1-r^2)+1}=-0/2=0 つまり全微分可能である。 というアプローチで如何でしょうか？ ご指導願います。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- f(x,y)=√|xy|が原点で微分不可能と示す
お世話になります、以下の問題を解くにあたって極座標変換を使いたいのですが、その用法に自信がありません。 お手数をお掛けいたしますが、添削をお願いしたいのです。 >>ｆ(x,y)の点(a,b)での全微分可能の定義 lim[(h,k)→0] {f(a+h,b+k)-f(a,b)-(Ah+Bk)}/√(h^2+k^2) =0より f(x,y)=√|xy|が原点で微分不可能であることを示したいのです。 k=0の時、定義はlim[h→0] {f(a+h,b)-f(a,b)-Ah} / h =0 lim[h→0] {f(a+h,b)-f(a,b) } / h =Ah/h 左辺がx座標の偏微分係数になっているので、fx(a,b)=A 同様にh=0のとき、fy(a,b)=B ∴定義はlim[(h,k)→0] {f(a+h,b+k)-f(a,b)-( fx(a,b)h+ fy(a,b)k)}/√(h^2+k^2) =0 a=0,b=0として、 f(0,0)=0 , f(0+h,0+k)= √|hk| f(x,y)=√|xy|の原点での偏部分係数は fx(0,0)= lim[h→0] {f(0+h,0)-f(0,0)} / h = lim[h→0] 0/h =0 fy(0,0)= lim[k→0] {f(0,0+k)-f(0,0)} / k = lim[k→0] 0/k =0 これらを定義に代入して、 lim[(h,k)→0] √|hk|/√(h^2+k^2)…(※) が0に収束するかについて 点(0,0) と点(0+h,0+k)を結ぶ直線をrとして、点(0,0)と点(0+h,0)を結ぶ直線とｒのなす角をθとする。 cosθ=h/rよりh=rcosθ , sinθ=k/rよりk=rsinθ (ただし、r>0 ,0≦θ≦π/2 , (h,k)→0 ⇒ r→0) (※)に代入して、lim[r→0] √|r^2cosθsinθ|/√{r^2(cos^2θ+sin^2θ)} , r>0より lim[r→0] √(r^2| cosθsinθ|) / √r^2 = lim[r→0] (r√| cosθsinθ| )/ r = lim[r→0] √| cosθsinθ|= √| cosθsinθ| ∴ 極限値はθに左右される。つまり全微分不可能である。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 三角関数を時間微分すると・・・
まず、(a,bは定数)x=acosθ+bcosψを時間(t)で微分します。 するとdx/dt=-a(dθ/dt)sinθ-b(dψ/dt)sinψ-(1)と なるのはなんとなく分かるのですが。 (1)式をさらに時間(t)で微分すると、 (d^2x/dt^2)=-a(d^2θ/dt^2)cosθ-b(d^2ψ/dt^2)sinψ-b(dψ/dt)^2cosψ-(2)になるのがまったく分かりません。 どうして(1)式をさらに時間微分するとψの項が２つ出現するのか がまず？です。 何度も先生に聞いたりしましたが、よく分かりませんでした。 どなたか、解き方を教えて下さい。 よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 指数やLogが含まれる2変数関数 f(x,y)の偏微分について
こちらの皆様のおかげで、2変数関数 f(x,y)の偏微分の解き方が ようやく理解できました。大変ありがとうございました。 それで、追加の質問で申し訳ないのですが、 以下の解き方があっているか、ご指導のほど、よろしくお願いします。 【問題】 次の2変数関数f(x,y)を偏微分せよ。 すなわち、関数f(x,y)のxおよびy関する変動関数fx(x,y)およびfy(x,y)を求めよ。 (5) Log √(x^2+y^2+1) 先に質問をした回答より、 fx(x,y)(x^2+y^2+1)=x/√(x^2+y^2+1) fy(x,y)(x^2+y^2+1)=y/√(x^2+y^2+1) また、(Log x)\'=1/xの公式と合わせて, Log √(x^2+y^2+1)のfx(x,y)=√(x^2+y^2+1)/x Log √(x^2+y^2+1)のfx(x,y)=√(x^2+y^2+1)/y (6) e^(xy) fx(x,y)=e^(xy) fy(x,y)=e^(xy) (7) sin xy fx(x,y)=cos xy = y * cos x fy(x,y)=cos yx = x * cos y (8) e^x * sin y fx(x,y)=e^x * sin y fy(x,y)=e^x * cos y (9) x^2 cos xy 積の微分の公式 より、 fx(x,y)=2x * cos xy + x^2(-sin xy) = 2x cos xy -x^2 sin xy fy(x,y)=x^2 * ( -sin xy) = -x^2 sin xy 以上、適用する公式などにおかしいところがあれば、 ご指導お願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 指数やLogが含まれる2変数関数 f(x,y)の偏微分について
こちらの皆様のおかげで、2変数関数 f(x,y)の偏微分の解き方が ようやく理解できました。大変ありがとうございました。 それで、追加の質問で申し訳ないのですが、 以下の解き方があっているか、ご指導のほど、よろしくお願いします。 【問題】 次の2変数関数f(x,y)を偏微分せよ。 すなわち、関数f(x,y)のxおよびy関する変動関数fx(x,y)およびfy(x,y)を求めよ。 (5) Log √(x^2+y^2+1) 先に質問をした回答より、 fx(x,y)(x^2+y^2+1)=x/√(x^2+y^2+1) fy(x,y)(x^2+y^2+1)=y/√(x^2+y^2+1) また、(Log x)'=1/xの公式と合わせて, Log √(x^2+y^2+1)のfx(x,y)=√(x^2+y^2+1)/x Log √(x^2+y^2+1)のfx(x,y)=√(x^2+y^2+1)/y (6) e^(xy) fx(x,y)=e^(xy) fy(x,y)=e^(xy) (7) sin xy fx(x,y)=cos xy = y * cos x fy(x,y)=cos yx = x * cos y (8) e^x * sin y fx(x,y)=e^x * sin y fy(x,y)=e^x * cos y (9) x^2 cos xy 積の微分の公式 より、 fx(x,y)=2x * cos xy + x^2(-sin xy) = 2x cos xy -x^2 sin xy fy(x,y)=x^2 * ( -sin xy) = -x^2 sin xy 以上、適用する公式などにおかしいところがあれば、 ご指導お願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 合成関数の偏微分について
z=f(x,y)で x=rcosθ y=rsinθ と置いたとき ∂z/∂r = cosθ(∂z/∂x) + sinθ(∂z/∂y) ∂z/∂θ = r×{-sinθ(∂z/∂x) + cosθ(∂z/∂y)} となりますよね。 次にこれらを ∂z/∂r = P ∂z/∂θ = Q とおいて 2階偏導関数 ∂P/∂r = (∂P/∂x)(∂x/∂r) + (∂P/∂y)(∂y/∂r) ∂Q/∂θ = (∂Q/∂x)(∂x/∂θ) + (∂Q/∂y)(∂y/∂θ) を求めたいのですが ∂P/∂x や ∂Q/∂x を求めるときに cosθ(∂z/∂x) についている cosθ や r×{-sinθ(∂z/∂x) + cosθ(∂z/∂y)} についている r は 定数として扱うべきなのでしょうか？それとも変数とみて積の微分法を 用いればよいのでしょうか？ 考えてみれば cosθ = x/r で (x,r)の関数ですから cosθは xで偏微分できそうですし r=x/cosθ で (x,θ)の関数ですから rも偏微分できそうです。 しかし解答をみる限りではいずれも定数として扱われているようです 何故だかさっぱりわかりません。 どなたか知恵を貸していただけるとありがたいです。
- 締切済み
- 数学・算数
お礼
ありがとうございます。 積の微分方程式から fy'(θ)=（ｄ（R*θ＊COS(A)）/ｄθ)*SIN(θ＋A) +(R*θ＊COS(A))*(d(SIN(θ＋A))/ｄθ) =R*COS(A)*SIN(θ＋A)+(R*θ＊COS(A))*COS(θ＋A) fy'(θ)= (ｄ（R*θ＊COS(A)）/ｄθ)*COS(θ＋A) +R*θ＊COS(A)*d(COS(θ＋A))/ｄθ =R*COS(A)*COS(θ＋A)-(R*θ＊COS(A))*SIN(θ＋A) でよしいでしょうか。加法定理はどこで利用しますのでしょうか？