ブール代数の問題なのですが・・・・・

質問

１，{A}・B・C + A・{B}・C + A・B・{C} + A・B・C=A・B＋B・C＋C・A
２，A＋(A+B)・({A}+{B})＝A+B
３,(A+B+C)・(B+C+D)・(C+D+A)・(D+A+B)＝A・B＋A・C＋A・D＋B・C＋B・D＋C・D
４，A＋{A}・B＝A+B
５，A・{B}＋B＝A+B

{　}はバーの代わりです。

の五式が成り立つ事ををブール代数の基本的性質のみ(カルノー図などを用いない)で示せという問題なのですが、全然分かりません・・・

どなたか丁寧に教えていただけませんか？？

回答No.3

info22

A,B,Cのあらゆる0,1の組合せに対して左辺と右辺が等しいことを示す方法で示す方法もあります。
この方法をやると
１
ABC=000の時
左辺=1・0・0+0・1・0+0・0・1+0・0・0=0，右辺=0・0+0・0+0・0=0=左辺
ABC=001の時
左辺=1・0・1+0・1・1+0・0・0+0・0・1=0，右辺=0・0+0・1+1・0=0=左辺
ABC=010の時
左辺=1・1・0+0・0・0+0・1・1+0・1・0=0，右辺=0・1+1・0+0・0=0=左辺
ABC=011の時
左辺=1・1・1+0・0・1+0・1・0+0・1・1=1，右辺=0・1+1・1+1・0=1=左辺
ABC=100の時
左辺=0・0・0+1・1・0+1・0・1+1・0・0=0，右辺=1・0+0・0+0・1=0=左辺
ABC=101の時
左辺=0・0・1+1・1・1+1・0・0+1・0・1=1，右辺=1・0+0・1+1・1=1=左辺
ABC=110の時
左辺=0・1・0+1・0・0+1・1・1+1・1・0=1，右辺=1・1+1・0+0・1=1=左辺
ABC=111の時
左辺=0・1・1+1・0・1+1・1・0+1・1・1=1，右辺=1・1+1・1+1・1=1=左辺
全てのA,B,Cの組合せに対して成立しているので等式は成り立つ。

２
AB=00の時
左辺=0+（0+0)・(1+1)=0+0・1=0，右辺=0+0=0=左辺
AB=01の時
左辺=0+(0+1)・(1+0)=0+1・1=1，右辺=0+1=1=左辺
AB=10の時
左辺=1+(1+0)・(0+1)=1+1=1，右辺=1+0=1=左辺
AB=11の時
左辺=1+(1+1)・(0+0)=1+1・0=1+0=1，右辺=1+1=1=左辺
全てのA,Bの組合わせに対して成立しているので等式は成り立つ。

３
ABCD=0000の時
左辺=(0+0+0)・(0+0+0)・(0+0+0)・(0+0+0)=0，右辺=0・0+0・0+0・0+0・0+0・0+0・0=0=左辺
ABC1=0001の時
左辺=(0+0+0)・(・・・）・(・・・)・（・・・）=0，右辺=0・0+0・0+0・1+0・0+0・1+0・1=0=左辺
ABCD=0010の時
左辺=(0+0+1)・(0+1+0)・(1+0+0)・(0+0+0)=0，右辺=0・0+0・1+0・0+0・1+0・0+1・0=0=左辺
ABCD=0011の時
左辺=1・1・1・1=1，右辺=0+0+0+0+0+1=1=左辺
ABCD=0100の時
左辺=1・1・0・1=0，右辺=0+0+0+0+0+0=0=左辺
ABCD=0101の時
左辺=1・1・1・1=1，右辺=0+0+0+0+1+0=1=左辺
ABCD=0110の時
左辺=1・1・1・1=1，右辺=0+0+0+1+0+0=1=左辺
ABCD=0111の時
左辺=1・1・1・1=1，右辺=0+0+0+1+1+1=1=左辺
以下の場合も左辺と右辺が等しいことを示す。
（やってみてください。）
ABCD=1000の時
ABCD=1001の時
ABCD=1010の時
ABCD=1011の時
ABCD=1100の時
ABCD=1101の時
ABCD=1110の時
ABCD=1111の時
全てのA,B,C,Dの組合せに対して成立しているので等式は成り立つ。

４，A＋{A}・B＝A+B　
AB=00の時
左辺=0+1・0=0+0=0，右辺=0+0=0=左辺
AB=01の時
左辺=0+1・1=0+1=1，右辺=0+1=1=左辺
AB=10の時
左辺=1+0・0=1+0=1，右辺=1+0=1=左辺
AB=11の時
左辺=1+0・1=1+0=1，右辺=1+1=1=左辺
全てのA,Bの組に対して成立しているので等式は成り立つ。

５，A・{B}＋B＝A+B
AB=00の時
左辺=0・1+0=0+0=0，右辺=0+0=0=左辺
AB=01の時
左辺=0・0+1=0+1=1，右辺=0+1=1=左辺
AB=10の時
左辺=1・1+0=1+0=1，右辺=1+0=1=左辺
AB=11の時
左辺=1・0+1=0+1=1，右辺=1+1=1=左辺
全てのA,Bの組合せに対して成立しているので等式は成り立つ。

回答No.2

pascal3141

1は、{A}・B・C + A・{B}・C + A・B・{C} + A・B・C={A}・B・C + A・{B}・C + A・B・{C} + A・B・C+ A・B・C+ A・B・C={A}・B・C + A・B・C+ A・{B}・C + A・B・C+ A・B・{C} + A・B・C=({A}+ A)・B・C+ ({B}+ B)・A・C+({C}+ C)・A・B=B・C+ A・C+A・B
4は、A＋{A}・B=A・(1+B)+{A}・B=A+A・B+{A}・B=A+({A}+ A)・B=A+B
5は、4の記号を逆に。
2は、A＋(A+B)・({A}+{B})=A+A・{A}+A・{B}+B・{A}+B・{B}(A・{A}=0,B・{B}=0より)
=A+A・{B}+B・{A}(4の結果より)
=A+B+B・{A}=A+B・(1+{A})=A+B
3は、邪魔くさいのでやってください。

回答No.1

R_Earl

> の五式が成り立つ事ををブール代数の基本的性質のみ

基本的性質とは、具体的にどんなものですか？
それが分からないと、答えにくいです。

> １，{A}・B・C + A・{B}・C + A・B・{C} + A・B・C=A・B＋B・C＋C・A

とりあえず左辺から、右辺のB・Cを作ることを考えてみます。
左辺の{A}・B・CとA・B・Cを因数分解し、({A} + A)・(B・C)と変形して
{X} + X = 1という性質を使えば、

({A} + A)・(B・C)
= 1・(B・C)
= B・C

となって、右辺のB・Cが作れます。
これと同様の方法で、A・BとA・Cも作れそうです
（A・{B}・CとA・B・Cを因数分解したらA・Cができ、
A・B・{C}とA・B・Cを因数分解すればA・Bができる。）。
ただ、{A}・B・CとA・B・Cを因数分解をするとA・B・Cが無くなってしまい、
A・{B}・CとA・B・{C}の因数分解ができなくなります。
この問題点を解決するためにちょっと工夫をしてみます。

{A}・B・C + A・{B}・C + A・B・{C} + A・B・C
= {A}・B・C + A・{B}・C + A・B・{C} + A・B・C + A・B・C + A・B・C
（冪等律より、X = X + X + X。よってA・B・C = A・B・C + A・B・C + A・B・C。これが前述の『工夫』です。）
= ( {A}・B・C + A・B・C ) + ( A・{B}・C + A・B・C ) + ( A・B・{C} + A・B・C )　（並び替えて整理）
= ( {A} + A )・B・C + ( {B} + B )・A・C + ( {C} + C )・A・B　（因数分解）
= B・C + A・C + A・B　（{X} + X = 1より{A} + A = 1、{B} + B = 1、{C} + C = 1）
= 右辺

となります。

ですが、{X} + X = 1の性質は使って良いのでしょうか？
そのあたりを明確にしないと答えづらいので、基本性質として使っていいものを教えて下さい。

また、自力でどこまでやってみたかを書かないと、質問自体が削除されるので、
どんなことを試したのかも書いて下さい。

お礼

大変丁寧な説明ありがとうございます。

すいません、基本的な性質とは交換法則、分配法則、単位元、吸収律などです。
実際自分で解いてみたのですがほとんど分からなくて困っていました。
初めて質問するもので不手際が多くて申し訳ありません。

とても参考になります。