ブール代数について教えてください

質問

こんにちは、
ブール代数の下記計算がぴんときません。
なぜ、成立するのでしょうか？

A＋１＝A
A＋A＝A

A+A（バー）＝１
A・A（バー）＝０

A+（A・B）＝A
A・（A＋B）＝A

A＋（A（バー）・B）＝A+B
A・（A（バー）＋B）＝A（バー）＋B（バー）

回答No.2

sinisorsa · ベストアンサー

あなたのブール代数の定義が分かりませんが、次の公理によって定義されているものとして、説明します。
集合Ｓが２つの演算＋と・をもつとき、（Ｓ，＋,）がブール代数であるとは、次の公理系を満たすことである。
（１）任意のＡ，Ｂ∈Ｓに対して、Ａ＋Ｂ∈Ｓ、Ａ・Ｂ∈Ｓ
（２）任意のＡ，Ｂ∈Ｓに対して、Ａ＋Ｂ＝Ｂ＋Ａ、Ａ・Ｂ＝Ｂ・Ａ
（３Ａ）任意のＡ∈Ｓに対して、Ａ＋０＝Ａとなる要素０∈Ｓが存在する。
（３Ｂ）任意のＡ∈Ｓに対して、Ａ・１＝Ａとなる要素１∈Ｓが存在する。
（４）任意のＡ，Ｂ，Ｃに対して、Ａ・（Ｂ＋Ｃ）＝Ａ・Ｂ＋Ａ・Ｃ、Ａ＋（Ｂ・Ｃ）＝（Ａ＋Ｂ）・（Ａ＋Ｃ）
（５）任意の要素Ａ任意のＡ∈Ｓに対して、Ａ＋Ａ(バー）＝１かつＡ・Ａ(バー）＝０となる要素Ａ（バー）∈Ｓが存在する。
（６）Ｓは少なくとも異なる２つの要素を含む。

従って、Ａ＋Ａ（バー）＝１、Ａ・Ａ（バー）＝０は公理５から明らか。これが成り立たなければ、ブール代数でない。
残りは、公理から導ける定理です。（最初と最後のは、間違い）
初めに、（＋、・、０、１、（バーありなし））を
　（・、＋、１、０、（バーなしあり））にそれぞれ変更したとき、
公理系は不変であることに注意します。（この性質を双対性という）
そのため、双対の関係にある定理は、一方を証明すれば、他方は自動的に証明されたことになる）

Ａ＋Ａ＝Ａの証明
Ａ＝Ａ＋０＝Ａ＋Ａ・Ａ(バー）＝（Ａ＋Ａ）・（Ａ＋Ａ(バー）＝（Ａ＋Ａ）・１＝Ａ＋Ａ
従って、双対性より、Ａ・Ａ＝Ａも証明される。
Ａ＋１＝１の証明
Ａ＋１＝（Ａ＋１）・１＝１・（Ａ＋１）＝（Ａ＋Ａ(バー））・（Ａ＋１
　＝Ａ・（Ａ＋１）＋Ａ(バー）・（Ａ＋１）
　＝（Ａ・Ａ＋Ａ・１）＋（Ａ（バー）・Ａ＋Ａ・１）
　＝（Ａ＋Ａ）＋（０＋Ａ（バー））
　＝Ａ＋Ａ(バー）＝１
双対性から、Ａ・０＝０も証明される。
Ａ＋Ａ・Ｂ＝Ａの証明
Ａ＋Ａ・Ｂ＝Ａ・１＋Ａ・Ｂ＝Ａ・（Ｂ＋１）＝Ａ・１＝Ａ
双対性から、Ａ・（Ａ＋Ｂ）＝Ａも証明される。
Ａ＋Ａ（バー）・Ｂの証明
Ａ＋Ａ（バー）・Ｂ＝（Ａ＋Ａ（バー））・（Ａ＋Ｂ）
　＝１・（Ａ・Ｂ）＝Ａ・Ｂ
双対性から、Ａ・（Ａ（バー）＋Ｂ）＝Ａ・Ｂ
または、Ａ・（Ａ（バー）＋Ｂ）＝Ａ・Ａ（バー）＋Ａ・Ｂ
　＝０＋Ａ・Ｂ＝Ａ・Ｂ
というように証明されます。

集合の部分集合族がブール代数になることから、ベン図を使って
説明することがありますが、正式な証明にはなりません。

質問者の方は、どちらをお望みですか？
また、２値論理の場合には、真理値表によって証明する方法もあります。
前提とするブール代数がどのように定義されているかが重要です。

お礼

お返事有難う御座います。

詳細な説明有難う御座いました。よくわかりました。

回答No.1

noname#160321

最後の
>A・（A（バー）＋B）＝A（バー）＋B（バー）
は変です。
>A＋１＝A
これも変 Ａ・１=Ａの間違いでは無いでしょうか。
>A＋A＝A
自分自身を幾ら足しても要素は増えません。
>A+A（バー）＝１
ある集合と全体集合からその集合を除いたものを足せば、当然「全体集合」です。ここで１は全体集合を表しています。
>A・A（バー）＝０
ある集合と全体集合からその集合を除いたものの共通部分は「空集合」です。
>A+（A・B）＝A
ある集合と他の集合の共通部分ともとの集合を加えたら、元の集合です。
>A・（A＋B）＝A
ある集合と別の集合の和と元の集合の共通部分は元の集合になります。
>A＋（A（バー）・B）＝A+B
全体集合からある集合を除いたものと別の集合の共通部分に元の集合を足せば元の集合と別の集合の和になります。

図で示すと良く分ります。ためしてみて下さい。

お礼

お返事有難う御座います。

説明有難う御座いました。直感的に意味がわかりました。