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二重積分

平面図形Dの面積が、二重積分∬_D dxdy で求めることができる理由を求めたいのですが…。 (この結果より極座標であらわすと∬_D rdrdθになり、これを利用して解く問題はなんとか分かりそうなのですが) もしかしたら簡単な事なのかもしれませんが、どなたかアドバイスをお願いします。

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  • ベストアンサー
  • mcurry
  • ベストアンサー率28% (45/158)
回答No.1

「平面Ｄの面積を求めるのには、どうすればよいか？」 を考えてみましょう。 正方形や、長方形の面積の求め方は知っているので、 微少な面積Δs=ΔxΔyの四角形を、平面Ｄに敷き詰めます。 平面Ｄに敷き詰めるのに必要な四角形の数ｎとすると 求めたい面積は ΔxΔy×ｎに近い値をとります。 四角形の面積ｓを０に近づけることにより、 （ｎは増える） ΔxΔy×ｎは求めたい面積に非常に近づきます。 S=lim_(Δx→0、Δy→0)ΣΣΔxΔy =∬_D dxdy ｛ΣΣで平面Ｄをdxdyで埋め尽くすように和をとっています｝ ｛高校数学の教科書に載っていると思いますが、微分の基礎的な式を書いておきます。 dy/dx=lim_(Δx→0) Δy/Δx｝ 面積がわかっている物を並べて、複雑な形の面積を求めようとしているのだと思います。 □の面積は解っているとします。 下の面積は数を数えれば分かます □ □□ □□□ □□□□ □□□□□ □□□□□□ □□□□□□□ □□□□□□□□ 極座標の場合は、敷き詰めるのに使う微少な図形を変えただけです。 弧の長さはrdθなので、動径方向の微少の長さdrをかけて、 ｄｓ＝rdrdθ 厚みのある弧？みたいな形を敷き詰めて面積を求めようとしています。 直感的な説明でなので、もっと、厳密に理解したいのでしたら、数学概論などの教科書を読むことをお薦めします

namibito5
質問者

お礼

すばやい回答ありがとうございます。 ＞微少な面積Δs=ΔxΔyの四角形を、平面Ｄに敷き詰めます このような考え方を使えばいいんですね～。 参考書などを読んで、もう少し勉強したいと思います。 分かりやすい説明ありがとうございました。

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