はさみうちの原理について

質問

どんなときにはさみうちの原理を使えばいいのかいまいち分かりません。
だれか教えてください！！

回答No.2

orcus0930 · ベストアンサー

a[n] < b[n] < c[n]
でb[n]の挙動がよくわからないが、a[n],c[n]の挙動ははっきりとわかる時に使うと便利です。

また、b[n]が数式化できないが、a[n],c[n]は数式化できる時などでも使えますね。

難度の高い問題にはなりますが、使わないと厳しいものも結構あります

お礼

回答ありがとうございます。
直接b[n]を求められないときに使うんですか？

回答No.4

jamf0421

No3です。
>数IIまでの積分ではさみうちの原理を使えるんですか。
「はさみうちの原理を使える」のではなく、使っているのです。さらに追加すれば三角関数の微分の基礎として
sinx/x→1（x→0）
が使われています。これも挟み撃ちで証明するのが普通です。
これの証明は単位円で0<x<π/2の範囲を考え、sinxと角度xが見込む弧の長さxとtanxを考え
sinx<x<tanx...(1)
から出発します。sinx<xは図をかけば自明ですが、x<tanxは図から直感的にはO.K.です。（証明はちょっと説明を要します。）
sinx<xより、
sinx/x<1...(2)
x<tanxより、
cosx<sinx/x...(3)
(2)と(3)を纏めて
cosx<sinx/x<1...(4)
これでx→0にもっていきます。cosx→1(x→0)により挟み撃ちの原理で
sinx/x→1(x→0)
が判ります。これが三角関数の微分の基礎になります。即ちsinxの微分を考えるときにすぐに必要です。cosx=sin(x+π/2)ですから、cosxの微分もこれを使って出せます。

お礼

実はまだ数IIIの微積はやっていないので、
ここを習ってからまた見てみることにします。
回答ありがとうございます。

回答No.3

jamf0421

普通の積分などは挟みうちの原理で習うのではないでしょうか？
初等的な例を挙げればy=x^2のグラフとx軸の間の面積Sをx=0からx=Xまでの区間で出せ、と言われたとします。当該区間を等間隔にn本の縦線で区切りx=Xにn番目の線があるとします。区切った縦線とグラフがぶつかる点から、右に水平線を引いて一つ先の縦線にぶつかる短冊のグループを考えるとそれは左肩がグラフに接するもので、その面積の和（S1)をとれば、それはSより必ず小さくなります。
一方区切った縦線とグラフがぶつかる点から、左に線を引いて一つ手前の縦線にぶつかる短冊のグループを考えると、その面積の和（S2)をとれば、それはSより必ず大きくなります。
すなわち
S1<S<S2...(1)
です。
ところでそれぞれの短冊の幅はX/nであり、そのi番目短冊の縦の長さはS1の時は{(X/n)(i-1)}^2、S2の時は{（X/n)i}^2ですから、
S1=Σ(X/n){(X/n)(i-1)}^2...(2)
S2=Σ(X/n){(X/n)i}^2...(3)
となります。Σはi=1からi=nまで足しています。S1の1個目の面積はゼロです。(2),(3)を(1)に代入し、少し整理すると
(X/n)^3Σ(i-1)^2 < S <(X/n)^3Σi^2...(4)
二乗の和はよく知られている通りΣ(i=1→n)i^2=(1/6)n(n+1)(2n+1)ですから(4)は
{(X/n)^3}(1/6)(n-1)n(2n-1) < S <{(X/n)^3}(1/6)n(n+1)(2n+1)
となります。即ち、
(1/6)X^3{(1-(1/n))(2-1/n)} < S < (1/6)X^3{(1+1/n)(2+1/n)...(5)
ですが、これでn→∞にもっていくとどちらの側も{(1/6)X^3}*2=(1/3)X^3になりますので挟み撃ちされているSもその値になります。

お礼

回答ありがとうございます。
数IIまでの積分ではさみうちの原理を使えるんですか。
大変勉強になりました。

回答No.1

koko_u_

>どんなときにはさみうちの原理を使えばいいのかいまいち分かりません。

お好みでどうぞ。