大学で出題された解析学（英文）の問題について

質問

私は関東の大学に通う学生で、現在情報系の勉強をしています。
先日、解析学の授業で課題が出されました。
Thomas's calculusというPearson International Editionから出された延べ1000ページに及ぶ英語の教科書からの出題です。

自分なりに考えてみたのですが、どうしても答えが出なかったり答えに自信がありません。この分野に詳しい方、どうかご教授お願い致します。解答は日本語で構いません。

【微分】
問1：How is a function's differentiability at a point related to its continity there, if at all?
恥ずかしながら正確に訳せません・・・。
抜き出してみると点aにおける関数の微分可能性、それはその場所で連続である・・・？

問2：What is the relation between definite integrals and area? Describe some other interpretations of integrals.
訳文：定積分と面積にはどのような関係があるか。またそれとは違ういくつか定積分の解釈を言葉で述べよ（？）
回答：（定積分と面積についての関係と改めて問われると言葉に詰まります。定積分と面積は同じであるという回答では明らかに間違いだと思うのですが、うまく言葉で説明できません・・・。）

問3：What is Taylor's formula?
What dose it say about the errors involved in using
Taylor polynomials to approximate functions?
In particular,what does Tayor's formula say about the error in a
linearization?A quadratic approximation?
訳文：テイラーの定理とは何か？テイラーの多項式を関数近似に用いる際に伴う誤差についてテイラーの定理はどのように述べているのだろうか？特に、線形化における誤差について、テイラーの定理は
どのように述べているのだろうか? 二次近似については
どうだろうか?
回答：テイラーの定理についていろいろ調べてみたのですが、うまく説明できません・・・。多項式を関数近似に用いる際に伴う誤差？ラグランジュの余剰項のことですよね。線形化、二次近似については手も足も出ません・・・。

問4：How do you estimate the errors involved in replacing Taylor's series with their partial sums?
これも恥ずかしながら正確に訳せません・・・。
どのように誤りを予測するか→テイラーの公式にある部分的な加算にとってかわる誤り

問5：How do you find the intersection of two lines in space? A line and a plane? Two planes? Give examples.
空間に存在する2つの直線の交点をどのように求めるか。

問6：What are quadric surfaces? Give examples of diffrerent kinds of ellipsoids, paraboloids, cone and hyperboloids.
二次曲面とは何か。楕円、放物面、円錐、双曲線についてそれぞれ
二次曲面とは二方向に沿ってのみ曲面であることですよね。楕円なんかはすべてにおいて二次曲面であると思うのですが、そのような回答でいいのでしょうか。

すべての回答ではなく一部分の回答でもありがたいですので、どうかよろしくお願いします。

回答No.2

wataKure · ベストアンサー

wataneruさんは、私の後輩のように思えます(勘違いでしたら申し訳ございません)。
以下は、私の後輩だったら、という仮定に基づいて申し上げます。

(i)問題文

意味の取り方に迷う箇所はあるかもしれませんが、
問題文くらいは的確に訳して提出する必要があるでしょう。
これに関しては、英語のみと向き合うよりも、
日本語の教科書を読む方が分かりやすいのではないかと思います。
問題文を個々の品詞に分解して考えれば意味の候補が幾つか得られると思いますので、
それを知識に基づいて絞ればよいのです。

具体的に補足していくと、例えば、
How is [a function's differentiability at a point] related to [its continity there], if at all?
のような塊が見えていますか？そして、a function's = its、at a point = thereであることが
把握できていますか？難しい話ではないので、着実に逐語訳していけば正解が得られるはずです。

また、
How do you estimate the errors involved in replacing Taylor's series with their partial sums?
replace A with Bを理解していますか？seriesやpartial sumはもっと適切な訳があるはずです。
前者は辞書を引けば分かりますし、後者は日本語の教科書を読むか、数学英和辞典を引けば分かるはずです。

締め切りが迫り、焦る気持ちはお察し致しますが、そのような姿勢では仕上がるレポートも
仕上がらないのではないでしょうか。
完全な解答を仕上げる時間はないかもしれませんが、問題文くらいは満足のいく訳を作るべきです。
その方が評価も高いでしょう。

(ii)解答

完全な解答書くには、教科書を読み込むべきです。
ただ、時間的な余裕がないと思いますので、読むべき個所を(大雑把にですが)挙げていきたいと思います。

まず、当たり前と言えば当たり前ですが、大体のものについては、索引を引けば分かります。
特に、ellipsoids, paraboloids, cone and hyperboloidsに関しては方程式、グラフの例が
出ているので分かりやすいのではないでしょうか。

分かりにくいものについては、例えば、
What is the relation between definite integrals and area? Describe some other interpretations of integrals.
Riemann Sums を踏まえて、定積分がなぜ面積に対応するか考えましょう。
文章で説明できないならば、グラフを書くのが手っ取り早いかもしれません。高校でも似たことをやったのでは？

How do you estimate the errors involved in replacing Taylor's series with their partial sums?
テイラーの公式は、多項式部分(P)と剰余項(R)に分かれていますね？
多項式部分だけで近似した場合に、この剰余項を使ってestimate the errorsするわけです。
これに関しては例が教科書に出ていますので、それを読んで自らの言葉で説明すればよいでしょう。
また、The Reminder Estimation Theorem を踏まえて書くとよいでしょう。

I教授は授業に大変熱心な方ですので、おそらく全員のレポートをしっかり読まれることと思います。
ですので、不完全でも努力の形跡が見てとれるようなレポートを書くべきでしょう。
また、理解が足りていない部分については、早急に勉強しないと授業についていけなくなります。
頑張って下さい！！！！

他の利用者の方へ

公の場で内輪の話題を広げてしまい、大変申し訳なく思います。
私も数学でとても苦労しましたので、思わず書き込んでしまいました。
軽率に振舞いましたこと、深くお詫び申し上げます。

お礼

丁寧にお答えくださり、ありがとうございました。

お恥ずかしながら、僕は憧れだけで文系コースから数IIICをやらずに（当時は二次試験が論文だった）この学科に来てしまいました。
圧倒的に微積の知識が足りなかったのですね。勉強不足が悔やまれます。

提出は明日までですが、お二方のご指導により稚拙ながらレポートを無事書き終えました。本当にありがとうございました。

（追伸ですが、wataKureさんは私の先輩のようですね。授業に着いていけるように予習復習を大事にして、単位を取るだけでなく微分積分の奥深い世界に足を踏み入れられたらなと思います。）

回答No.1

kabaokaba

結局，レポートが分からないから
誰か答えてくれってことかい？

A1
連続だが微分できない関数を考えな

A2
原始関数とは何か？微積分学の基本定理を考えよ．
面積が定積分であることを積分の定義から考察したら？

A3
ラグランジュ剰余だけか？教科書なり何なりにでてるはず．
平均値の定理しってる？

A4
Q3の続きだな．テイラー展開の剰余部分の誤差評価について
述べればいいのだろう．
誤差の見積もりは重要だから教科書に普通はでてる．

A5
高校二年生レベルにすぎない

A6
>二次曲面とは二方向に沿ってのみ曲面であることですよね。
勝手に定義作るなよ．教科書を読みな．
二方向に沿って曲面って一体なんだ？
楕円と楕円面は別物だし，双曲面と双曲線も別物．
線型代数の教科書にでてる「二次形式」を勉強する．
固有値の計算くらいできるでしょう．

お礼

>結局，レポートが分からないから
>誰か答えてくれってことかい？
お恥ずかしながら・・・。そういうことですね。

全体的に英文と教科書を読み足りなかったようですね。質問するには早急すぎました。お恥ずかしい限りです。
しかしそのような輩を相手に、分かりやすい誘導、ご指導誠にありがとうございました。