等加速運動とエネルギー

質問

混乱してわからなくなったので教えてください。
宇宙空間に静止している宇宙船を考えます。
推進剤を燃焼させて一方向に単位時間当たり一定量・一定速度で放出させます。
（１）この場合宇宙船は一定の力を受けて「等加速度運動」をするのでしょうか？　ただし、光速度よりはるかに小さい速度域で、かつ放出した物質の分の質量の減少は無視できるとします。
（２）「等加速度運動」である場合、２時間後の速度は、１時間後の速度の２倍になりますよね？　運動エネルギーは４倍になります。ですから点火から１時間後までに得た運動エネルギーを１とすると、１時間後から２時間後までに得た運動エネルギーは３になりますよね？　
（３）消費する推進剤（のエネルギー）は時間当たりで一定という前提なのに、なぜ得られる運動エネルギーでは１になったり３になったりするのでしょうか？　なにか勘違いをしていると思いますが、自分ではわかりません。

回答No.11

matelin · ベストアンサー

Ｎｏ１０に続けて書きます。

［訂正］Ｎｏ１０の9行目は、「時刻　ｔ～ｔ＋Δｔ　秒に噴出される、質量　ａΔｔ[kg]　のガスの速度」
［注記］Ｎｏ１０の最後の式の、lnは、自然対数を表します。

上のＮｏ９、１０について、更に書きましょう。
［１］　Ｎｏ１０の最後に出てきた式、Ｖ（ｔ）＝√（２ｂ/ａ）ｌｎ（Ｍ０/（Ｍ０-ａｔ））　から、
　宇宙船の加速度ｄＶ（ｔ）/ｄｔは単調に増加することが分かります。
　この原因は、時間が経つほど、宇宙船の質量が減少することと、
　その宇宙船が得るエネルギーは、燃料の燃焼によって発生するエネルギー量より多くなることです。
後者はなぜかというと、噴射されるガスが、噴射前に持っていたエネルギーより、
　噴射後のエネルギーの方が、小さくなるからです。そのガスは、噴射前は宇宙船と同じ速度を持っていたのに、
　噴射後はその速度が減少することになるから、ガスの運動エネルギーは減るのです。
その減った分は、宇宙船の運動エネルギーに転化しています。だから、宇宙船はガスの燃焼で発生するよりも、
　更に多くのエネルギーを得ることになります。

［２］　宇宙船の加速度が単調増加するから、この運動は厳密には等加速度運動ではありません。
　しかし、時間を短く限定すれば、近似的に等加速度運動であると、みなすことは、できるでしょう。

お礼

こんにちは！
すごいです！

最初は、「ゴムひもの伸びを一定にして引っ張る」＝Ｆ一定　のような加速と同じだと思っていたのですが、
他の方の回答でも指摘されているとおり、ロケットはまったく違うということがわかりました。
（１）噴出ガスにも運動エネルギーが残る
（２）質量を減じながら進む
納得しました。

Ｖ（ｔ）＝√（２ｂ/ａ）ｌｎ（Ｍ０/（Ｍ０-ａｔ））
a が 小さくなると、 ｌｎ（Ｍ０/（Ｍ０-ａｔ））は小さくなって、加速には不利ということですね。
ですから私の最初の「質量の減少を０と見なす」という前提には無理があったのですね。
ＡＮｏ１さんのご指摘もそうでした。
一方でa が 小さくなると√（２ｂ/ａ）は大きくまりますね。
b/a の単位は J/kg になるので推進剤のカロリーみたいなものしょうか。推進剤の爆発力、ガスの速度と関係ありそうですね。

加速はじめでは、エネルギーのほとんどが、噴射ガスの運動のほうに持って行かれるのですね。
ANo.2さんもそのように回答されていました。

「そのうち宇宙船はガスの燃焼で発生するよりも、更に多くの運動エネルギーを得ることになる」というのは意外な結論でした。
これは、積載された推進剤も宇宙船と一緒に運動しそれ自体運動エネルギーをもっている、
そしてそれを放出すると推進剤の運動エネルギーが宇宙船本体に移る（運動量保存則＋エネルギー保存則）ということですね。

勉強になりました。
みなさま、ありがとうございました。

回答No.10

matelin

Ｎｏ９に続けて書きます。
次にあなたの問題を数式で表して見ましょう。

宇宙船が一定値ａ[kg/s]の割合で燃料を消費しながら進むとします。
またその燃料の燃焼により1秒間に発生するエネルギーをｂ[J/s]とします。
ｂも定数です。静止している宇宙船が動き出す時刻を０秒とします。
その０秒の時の宇宙船の質量をＭ０[kg]とし、ｔ秒後の宇宙船の質量をＭ（ｔ）[kg]とします。
Ｍ（ｔ）＝Ｍ０－ａｔ　です。
また、宇宙船が動き出してからｔ秒後の速度をＶ（ｔ）[m/ｓ]とし、
時刻ｔ～Δｔ秒に噴出される、ａΔｔ[kg]のガスの速度
（宇宙船の速度と同じ座標系から見たもの）をｖ（ｔ）[m/ｓ]とします。

さて、ＡＮｏ９の(1)の関係を式にすると、次のようになります。
　　１/２Ｍ（ｔ）Ｖ（ｔ）＾２＋ｂΔｔ＝１/２｛Ｍ（ｔ）-ａΔｔ｝（Ｖ（ｔ）＋ΔＶ）＾２＋１/２ａΔｔ｛ｖ(ｔ)｝＾２…(2)
また、このΔｔ秒間の噴射において、全運動量が保存しますから、それを式にすると、
　　Ｍ（ｔ）Ｖ（ｔ）＝｛Ｍ（ｔ）-ａΔｔ｝（Ｖ（ｔ）＋ΔＶ）＋２ａΔｔｖ(ｔ)…(3)
この(2)を変形し、Δｔ→０　の極限を考えると、
　　Ｍ（ｔ）ｄＶ（ｔ）/ｄｔ＝ａ（Ｖ（ｔ）－ｖ（ｔ））…(4)　　が導けます。
(3)も変形し、Δｔ→０　の極限を考えると、
　　２Ｍ（ｔ）Ｖ（ｔ）ｄＶ（ｔ）/ｄｔ＝ａ（Ｖ（ｔ）－ｖ（ｔ））（Ｖ（ｔ）＋ｖ（ｔ））＋２ｂ…(5)
が導けます。これに(3)を代入し、いくらか変形すると、
　　ｄＶ（ｔ）/ｄｔ＝√（ａｂ）/Ｍ（ｔ）
Ｍ（ｔ）＝Ｍ０－ａｔ　を代入すると、上の式は簡単に積分できます。
さらに、ｔ＝０の時Ｖ＝０を使うと、
　Ｖ（ｔ）＝√（２ｂ/ａ）ｌｎ（Ｍ０/（Ｍ０-ａｔ））
という解を得ることができます。

回答No.9

matelin

こんばんは。あなたが出された問題を私なりに考えてみました。
その結果を書きましょう。

ｔ秒～ｔ＋Δｔ秒の間の、エネルギーの変化を式で書くと、次のようになるはずです。

　　（ｔ秒後の宇宙船の運動エネルギー）
　　＋（ｔ秒～ｔ＋Δｔ秒の間のΔｔ秒間の燃焼により発生するエネルギー）
　　＝（ｔ＋Δｔ秒後の宇宙船の運動エネルギー）
　　　＋（そのΔｔ秒間の燃焼により噴射されるガスの運動エネルギー）　…(1)

ただし、ここでは燃焼で発生する熱エネルギーはすべて、
宇宙船の運動エネルギーと噴射されるガスの運動エネルギーとに、
転化すると仮定しています。
実際には他のエネルギーにも転化しているでしょうが
（例えば、宇宙船の加熱や光や振動など）、
問題を簡単にするためにこの仮定をします。
あなたの推論の（３）で矛盾が生じた第1の原因は、
上の式の（そのΔｔ秒間の燃焼により噴射されるガスの運動エネルギー）の項を
忘れていることです。
エネルギーに関するあなたの考えを式で表すと、

　　（ｔ秒後の宇宙船の運動エネルギー）
　　＋（ｔ秒～ｔ＋Δｔ秒の間のΔｔ秒間の燃焼により発生するエネルギー）
　　＝（ｔ＋Δｔ秒後の宇宙船の運動エネルギー）

ということに、なると思います。これは間違いであり、正しいのは(1)の式です。
このことは、ＡＮｏ１さんや、ＡＮｏ２さんが指摘されていることです。

回答No.8

noname#96418

＃６の後半「なお」以下は間違いですね。（推進剤の「一定速度」を宇宙船に対するものとすると。）取り消します。すみませんでした。

次のようになるようですが、またどこか間違えていたらご指摘ください。
時刻 t での宇宙船の質量を M = M0 - m t、その速度を V、放出される推進剤の速度を V - u とすると、
d(M V)/dt + m(V - u) = 0
これより
dV/dt = (m/M)u
積分して
V(t) = u ln(M0/M)
M0 >> mt の場合は
V(t) ≒ (m/M0) u t
で等加速度運動。
運動エネルギーの増加率は
dE/dt =d(M V^2 /2)/dt + m (V - u)^2/2
　　　=m u^2/2
で一定。

回答No.7

shiara

No.4です。
燃焼によって放出されたガスの質量と速度が一定であれば、力は一定となります。
　ご質問は、燃焼エネルギーと力の関係についてでしょうか。燃焼エネルギーがすべて宇宙船の運動エネルギーになるとは思いませんが、このあたりは専門家に聞いて下さい。

回答No.6

noname#96418

＃２、３です。

>時間とともに V , v も変化するので、それも考慮にいれるとどうなるのでしょう？

M>>mである限り、何も変わりません。＃２、３の式は、ある時間間隔における平均的挙動を表していると思えばよいと思います。
M>>mが成り立たなくなった時刻においても、放出された推進剤が持って逃げるエネルギーを考慮しなければならないということに変わりはありません。

なお、質問者さんが仮定しておられる二つの条件

>推進剤を燃焼させて一方向に単位時間当たり一定量・一定速度で放出させます。

と

>消費する推進剤（のエネルギー）は時間当たりで一定という前提

は一般には両立しないと思います。（計算で確認はしていませんが。）

回答No.5

sanori

こんにちは。

１．
まず、
「放出した物質の分の質量の減少は無視できるとします。」という前提についてですが、
推進剤を弾丸（質量ｍ）であるとし、１秒当たり１発ずつ発射するとします。
このとき、宇宙船の質量Ｍは、ｍより十分大きいとすれば、
近似的に、前提は成り立ちます。

ここまでは、いいです。

２．
上記の近似が成り立つとすると、それは、もはや、地上を走っているクルマと同じ話になります。

摩擦などの要因を排除し、ハンドルを真っ直ぐ構えるとすれば、
アクセルを一定に踏むとき、クルマは等加速度直線運動をします。
そして、やはり、
時間当たりのガソリン消費量は一定なのに、運動エネルギーは、
１→４→９→１６→・・・・・
となり、差分は、
３→５→７→・・・・・
となります。
「だから、同じガソリン消費率でも、加速の度合いは変わる」
ということになると思われるかもしれませんが、
それは違います。

等速直線運動をしている限りは、クルマであれ、宇宙船であれ、
単純な慣性系として考えることができます。
ところが、加速度のある運動を考えるとき、速度が変わるごとに「新しい慣性系」になる、
という都合のよい考え方をすることはできません。
運動エネルギーを考えるときは、あくまでも、
ある慣性系から見たときの、ある時点の速度・運動エネルギーを基準として、
絶対座標で考えなくてはいけないのです。

以上、参考になりましたら。

回答No.4

shiara

推進剤がした仕事は、力（この場合は一定）×距離で、距離は時間の2乗に比例します。

補足

こんにちは。
ご指摘の意味は、等加速度運動では「速度が大きくなるほど（時間が経つほど）、一定距離を進むのに要する時間は短くなる」つまり「速速度が大きくなるほど（時間が経つほど）、同じ仕事をするのに要する時間は短くなる」ということですね。

>力（この場合は一定）×距離
実は、この場合本当に「力が一定と」みなしてよいか否かに関心があります。どうなんでしょう？

回答No.3

noname#96418

＃２です。最後の -m/M は m/M の間違いです。

補足

なるほど、数式で表すと判りやすいですね。
ご指摘の内容は、噴射の「最初の一噴き」の状況を表していますね。
でも時間とともに V , v も変化するので、それも考慮にいれるとどうなるのでしょう？。。。というのが新たな疑問です。

回答No.2

noname#96418

エネルギーの大半は、放出された推進剤が持って逃げているからです。
簡単な場合を考えます。静止していた物体が質量Mとm（M>>m）の二つの部分に分裂したとしましょう。分裂後の速度をVとvとします。運動量保存から　MV + mv = 0　です。運動エネルギーの比をとると、MV^2/mv^2 = -V/v = -m/M <<1です。

回答No.1

mtaka2

(1)は、その前提が正しければ確かに「等加速度運動」になります。
ただし、
> 放出した物質の分の質量の減少は無視できる
この前提は難しいです。

推進剤を放出することによる速度の上昇は、「運動量保存の法則」で求まります。

つまり、放出した質量と宇宙船本体の質量比で、放出後の推進剤の速度と宇宙船自身の速度が決まりますから、
「放出した物質の分の質量の減少は無視できる」とすると、すなわち、
「放出した物質の質量は宇宙船自身の質量と比べると無視できる」わけですから、逆に「宇宙船自身の加速度は無視できて、推進剤だけが後方に飛んでいく」ことになります。」

それを考えると、(2)の「1と3で三倍」にはなりませんが、
(3)については、確かに、速度0からの加速よりも、速度が上がってからの加速の方が、同じ噴射でも得られる運動エネルギーが大きくなります。
それは、噴射した推進剤の得る「運動エネルギー」を忘れてるからです。

例えば静止している状況で噴射すると、宇宙船本体はほとんど速度は変わりませんが、推進剤は高速で後方に噴射されています。
一方、加速後の宇宙船の速度はほとんど0ですから、双方の運動エネルギーを考えると、燃焼によるエネルギーはほとんどすべて推進剤の運動エネルギーになってしまっています。

一方、噴射速度と同じ速度で宇宙船が進行している場合を考えます。
このとき、噴射後の推進剤は速度0になるので運動エネルギーは0になります。
つまり、燃焼のエネルギーを全て宇宙船の運動エネルギーに変換できているのです。

補足

こんにちは。

>>放出した物質の分の質量の減少は無視できる
>この前提は難しいです。
運動量保存の法則、昔高校物理で習ったのを思い出しました！　たしかに質量が無に等しい物質を噴射してもその反作用は期待できませんね。納得。

>それは、噴射した推進剤の得る「運動エネルギー」を忘れてるからです。
噴射後も放出された推進剤が運動をする限り、噴射のエネルギー全部が船体の運動エネルギーに変換されるわけではない、
しかも、船体の運動エネルギーに変換される割合も加速当初とある程度加速してからでは違う（後者の方が効率がいい）ということですね？
つまり「船体を押す力も経時的に変化する」という理解でよいですか？

>一方、噴射速度と同じ速度で宇宙船が進行している場合を考えます。
>このとき、噴射後の推進剤は速度0になるので運動エネルギーは0になります。

そのまま噴射を続ければ、船体の速度は噴射速度を超えますか？
超えた場合、推進剤は船体の後を追うような運動をするのでしょうか？　その分、船体につたわる運動エネルギーは目減りしますか？

立て続けに質問すみません。お暇ならお付き合いください。