直線の方程式 y=mx+n .x=my+nについて

質問

曲線 y'2+2y-4x+9=0の曲線を描き、点A(1.a)からこの曲線に引いた2本の接線は互いに直交することを証明せよ。
一つ目の質問です。この問題の解答をみると、A(1.a)ｗ通る直線は、
x=m(y-a)+1となってました。そして、これを代入するのですが。。。
どうして、x=m(y-a)+1としたのでしょうか？ y=mx+nを使用して、
y=m(x-1) + aとして代入しては駄目なのですか？理由を教えてください。　最終的には、代入後判別式を用いて、また直交の条件をだして証明して解決いたしましたけど、この部分だけ意味が解かりませんでした＞＿＜

二つ目の質問は
y=mx+nについて良くわかりません。
y=mx+n は　
座標が(0.0) であれば y=mx。
座標が(0.2)であれば y=mx+2
座標が(1.a)であればx=m(y-a)+1
このように今まで問題集の問題で二次曲線の問題をみると
変形して代入してるのですが、
y=mx+n nの部分は (0.1)のｙの１の部分ですよね？
mでは（1.1)の場合は y=m(x-1)+1ですよね？？
それでは、座標があったとしたら、nの部分にはy座標を
mの部分はnのように代入ではなく、そのままでさわらず
x座標にかんしては(2.1)であれば、m(x-2)+1
とすればOKですよね？？ではどうしてy=mx+nは(1.1) y=m(x-1)+(n-1)
の様にnはｍの様にならなくても可能なのですか？？
理由はどうしてもnとmが同じ役割同士に見えてしまってるからです。

どなたか、y=mx+nとx=m(y-a)+1とは何か教えてください、お願いします。

回答No.2

nettiw · ベストアンサー

(y'2)=(y^2)

>> y=m(x-1)+aは駄目か。
　y=m(x-1)+a　と置いてもいいですよ。

やや計算が面倒なことと、途中で注意書きが必要になるだけです。
判別式の計算は、（準円）のときなどは、この程度の計算は普通です。
（準円）は良く知っている問題で、検索して見て下さい。

以下、２通りで計算を書きますが、標準形で書きます。

放物線の標準形、y^2=4px (p＞0)、焦点F(p,0),,,準線x=-p
準線上の１点P(-p,t)を通る２本の接線は直交する。

x+p=m(y-t) と置くと、
　ｘ軸に平行な場合は表せないけれど、放物線と交わるので、
　考慮しなくてもいい。（計算の中で、暗黙に示されている）。
x=my-(mt+p)
y^2=4p{my-(mt+p)}
y^2=4pmy-4p(mt+p)
y^2-4pmy+4p(mt+p)=0
D/4=0
4(p^2)(m^2)=4p(mt+p)
p(m^2)=(mt+p)
p(m^2)-tm-p=0
(m^2)-(t/p)m-1=0
　(m1)(m2)=-1
---

y-t=m(x+p)　と置くと、
　ｙ軸に平行な場合は表せないけれど、放物線と交わらないので、
　考慮しなくてもいい。（計算の中で、暗黙に示されている）。

y={mx+(mp+t)}
{mx+(mp+t)}^2=4px
(m^2)(x^2)+2m(mp+t)x+{(mp+t)^2}=4px
(m^2)(x^2)+2{m(mp+t)-2p}x+{(mp+t)^2}=0

m=0　のときは、一本の直線しか表せない。また、
直線は放物線と交わってしまう。（接しない）。交点は、( t^2/4p, t)
よって、m≠0。

D/4=0
{m(mp+t)-2p}^2=(m^2){(mp+t)^2}
(m^2){(mp+t)^2}-4pm(mp+t)+4(p^2)=(m^2){(mp+t)^2}
-4pm(mp+t)+4(p^2)=0
m(mp+t)-p=0
p(m^2)+tm-p=0
(m^2)+(t/p)m-1=0
　結局、(m1)(m2)=-1　は示せます。
---

>> y=mx+nは、定点(1,1) y=m(x-1)+(n-1)。

錯覚を起こしているように思えます。

　y=mx+n　と置くのは、傾きも切片も不明な場合です。
これにある条件が加わると、ｍとｎには関連性が生じます。
　いまは、（ある定点を通る）、です。
(1,a) となっていて、aは任意の値ですが、
問題を解く際には、これを定点と見て解きます。

　定点とみてしまえば、
y-a=m(x-1)
y=mx+(a-m),,,,つまり　n=a-m です。

　逆に書くと、直線y=mx+(a-m)が通る定点は、
y-a=mx-m
y-a=m(x-1)、m　についての恒等式と見て、
定点(x,y)=(1,a) とするのは良く判っているはずですが。

お礼

返信おそくなってごめんなさい＞＿＜
すごく解かりやすかったです♪
ありがとうございました♪♪♪

回答No.1

R_Earl

> 曲線 y'2+2y-4x+9=0の曲線を描き、

y'2は何でしょうか？「yの2乗」でしょうか？

> どうして、x=m(y-a)+1としたのでしょうか？

y = mx + nの形では、直線x = 2や直線x = -3等の縦直線を表現できません(xy平面上で、y軸に平行な直線)。
おそらくですが、接線の中にこのような縦直線が含まれるの可能性があったのではないでしょうか？
y = mx + nでは、このような縦直線に対応できませんが、
x = my + nの形をしていれば、m = 0の時に縦直線を表現できます。

逆にx = my + nだと横直線を表現できませんが、今回はそういった接線が存在しないのだと思います。

> ではどうしてy=mx+nは(1.1) y=m(x-1)+(n-1)
> の様にnはｍの様にならなくても可能なのですか？？
> 理由はどうしてもnとmが同じ役割同士に見えてしまってるからです。

実はこれ、mとnを変形してるのではなくて、xとyを変形してるんです。
点(a, b)を通る直線の式はy = mxをいじって、(y - b) = m(x - a)となります。
こうすると、座標(a, b)を代入した時、両辺が0になって等式が成り立ちます
（つまり直線(y - b) = m(x - a)は点(a, b)を通る）。

左辺のかっこをとって-bを右辺に移項すると
y = m(x - a) + bとなります。

点(1, 1)を通る直線の式は本来、(y - 1) = m(x - 1)です。
左辺の-1を移項するとy = m(x - 1) + 1となります。

結局、mとn両方ともいじってませんよね。
x → (x - a)
y → (y - b)
というように、xとyをいじったんです。

お礼

返事遅くなってごめんなさい＞＿＜
スゴク解かりやすかったです♪
ありがとうございました♪♪♪