「横倒しにした円柱容器に入ったレベルｎの液体の体積」について。

質問

その解き方をやさしく御教授してください。
どうぞよろしくお願いします。

回答No.1

stomachman · ベストアンサー

円柱は完全に横倒しになっているんだとすれば、円柱のどこを切っても水深は同じですが、そういうご質問と解釈して良いのでしょうか？

　実際に図を描きながら読んでくださいね。
　円を描き、円に２点で交わる直線を描いて、この直線が水面を表すと考えます。直線と円弧で囲まれたＤの字型の部分の面積が円の面積の何倍か、を求めれば良い。
　水は半分以下だとします。（もし半分より多く水が入っている場合は、水のない部分のＤの字型の面積を円の面積から引き算すれば良い。）
　円と水面との接点（２つありますのでA,Bとする）と円の中心Cとでできる二等辺三角形を描きます。この三角形の頂角（Cでの角度）を2θとします。
円の半径をrとして、円の中心から水面までの最短距離をhとします。つまり水面を底辺とする、二等辺三角形の高さがhです。すると
h = r cos θ
三角形ABCの面積Sは
S = hr sin θ
よって、
S = (cosθ)(sinθ)r^2
です。一方、Cをかなめとする扇形ABの面積はθr^2（もしθ=π(180度)なら円の面積πr^2に一致することを確かめてください。）です。だから、求めるＤ字型の部分の面積Tは
T=(θ-(cosθ)(sinθ))r^2
となります。θを求めるには
θ= acos(h/r)
を使って計算します。（acosは逆三角関数(arc cosine)です。）これで普通の関数電卓かexcelで計算できる式になりました。
　このTに円柱の高さをかけ算すると、体積が求められます。

　もし半分より多く水が入っている場合は、（上記の計算では水のない部分のＤの字型の面積を求めたので）Tの代わりに2πr^2からTを差し引いたものを使います。

お礼

お礼が遅れて大変申し訳ありません。とても丁寧でわかりやすい解説、どうもありがとうございました!参考にさせてもらいます。