浮力について

質問

浮力の原理の初歩的な説明として、
水の中の直方体の上面と下面にかかる力の差を考えることがあります。

このとき、上面には、そこより上にある水の重量に起因する圧力がかかりますが、
下面についてはその上に水と直方体そのものが存在します。
にもかかわらず、通常の浮力の説明では
下面の上には水だけがあるものとして圧力を計算しています。

これは一種の近似なのか否かを教えていただけないでしょうか。

もし近似であるとすれば、
直方体の体積や密度が非常に大きい場合、
実際の浮力はアルキメデスの原理から外れてしまうような気がします。

回答No.13

nubou

圧力差と浮力を結び付けなければアルキメデスの原理の証明はもっと楽です

任意形状物体があるとする
その物体と同形状の水を水中に想定する
「想定した水」の体積（＝前記物体の体積）をＶとし水の密度をρとし重力加速度をｇとするとその水は地球からＶ・ρ・ｇの引力を受けます
しかし「想定した水」はその場で静止していて落ちない
ということは「想定した水」は地球の引力に対抗して周りからＶ・ρ・ｇの力を上方に受けていなければならない
ここで「想定した水」の場所に前記物体を置くと当然前記物体も「想定した水」と状況は同じだから同じように周りからＶ・ρ・ｇの力を上方に受けるはずです

アルキメデスが考えた証明は多分これでしょう
物体の体積が大きくても物体の密度が大きくても関係ないでしょう

回答No.12

nubou

いっぱい回答があるので回答を読んでないから重複するかも
重力加速度をｇとする

（＊）水圧は同じ点ならどの方向にも同じ大きさで働く

＜水面からｈの深さにある点の上向きの圧力Ｐｘは？＞
水面の気圧をＰとし水の密度をρとし
底面面積ｓで高さｈの円柱を上面を水面として水中に想定する
ただしｓはきわめて小さくその上の圧力は同一とみなせるとする
円柱の上面に働く力：ｓ・Ｐ下向き
円柱の下面に働く力：ｓ・Ｐｘ上向き
円柱に働く重力：ρ・ｓ・ｈ・ｇ下向き
であり
円柱内の水は静止しているから垂直方向の力の和は０だから
ｓ・Ｐ－ｓ・Ｐｘ＋ρ・ｓ・ｈ・ｇ＝０
すなわち
Ｐｘ＝Ｐ＋ρ・ｇ・ｈ
この式から

（＊＊）水圧は深さのみに依存する

が言える

水中に上面を水平にして直方体を糸でつるす
直方体上面の面積をＳとし
直方体上面の水面からの深さをｈ１とし
直方体仮面の水面からの深さをｈ２とし
直方体の質量をＭとする
直方体上面に働く力：（Ｐ＋ρ・ｇ・ｈ１）・Ｓ下向き
直方体下面に働く力：（Ｐ＋ρ・ｇ・ｈ２）・Ｓ上向き
直方体の重力：Ｍ・ｇ下向き
直方体が糸から受ける力：Ｔ上向き
であり
直方体が水中で静止していれば垂直方向の力の和は０だから
（Ｐ＋ρ・ｇ・ｈ１）・Ｓ－（Ｐ＋ρ・ｇ・ｈ２）・Ｓ＋Ｍ・ｇ－Ｔ＝０
すなわち
Ｔ＝Ｍ・ｇ－ρ・ｇ・（ｈ２－ｈ１）・Ｓ

直方体はρ・（ｈ２－ｈ１）・Ｓ・ｇだけ軽くなる
（だからこれを浮力と呼ぼう）
これは直方体と同じ体積の水の重力である

どんないびつな物体も無数の直方体（立方体）で分割できるので
直方体に限らず
水中の物体は「その物体と同じ体積の水の重力」に等しい浮力を受けるのである

回答No.11

SCNK

「疑問に感じているのは、この差額を計算する際に、
なぜ下面の上には水だけがあると仮定するのか、という点です。」

おそらく、流体の静圧だけを説明しているからではありませんか。この場合、上下の力のベクトルは上向きの方が勝ります。これが浮力です。しかしそれだけでは浮上してしまいます。

長方体には重力が働いています。このベクトルが抜けているというのでしょう。この重力のベクトルが浮力のベクトルと同じであれば、力は相殺されますから、一定の深度でとどまることになります。

こういうことではありませんか。

回答No.10

Zincer

先ずはお詫びを申し上げます。
＞例
＞富士山が大気から受ける浮力
は、富士山の底には大気の層が入り込めませんから浮力は働きませんね。
では本題にはいります。

rei00さんへの補足を使って説明しましょう。
質量ｍの物体「□」は固定して考えなくてはいけません。方法例「糸で吊るす」or「棒で押し込む」等
重力場内で物体を「空気中（厳密には真空中）で固定する為に必要な力」と「流体中で固定する為に必要な力」の差が流体から受ける浮力ですね。
＞これらの合計重量は
＞{ρ[Z(d + a) - a^3] + m}g
＞となり、これが面積Zの水面にかかるので、
＞パスカルの原理により物体の下面には
＞{ρ[Z(d + a) - a^3] + m}g / Z
＞の圧力が上向きにかかると思うのです。
となるのは、物体が固体である底に沈んだ時に、上に乗っている水の重量（単位面積あたりにすれば水圧）と物質の重量を加えた場合の底面での平均（←これ重要）圧力を示したものであり、底での水圧を正しく表現していません。
あくまでも、深さ(d + a)での（水表面に対する相対）圧力は「ρｇ(d + a)」です。

次に私への補足について
＞しかし、例えば水面の上に「落とし蓋」を置けば、
＞蓋の重量がパスカルの原理に従って水にかかるのではないでしょうか？
「落とし蓋」が（たとえ糸でつった状態で）水に浮いていれば蓋の底面での圧力が、その水深での水圧の等しいことが前述の説明で分って頂けますでしょうか？
（これもアルキメデスの原理から導出していますので堂々巡りになりそうですが？）
では密閉した注射器のような容器を考えてみましょう。
蓋の自重で(あるいは外部から力を加えて)加圧したとしても水の内部での深さ方向の圧力差は変化しませんね。

＞浮力を考える際には、その流体にかかる重力によるものですよね？
正にその通りです。重力場の無いところでは、どんなに密度差があっても浮力は発生しません。

＞流体の体積から物体のスペースを差し引かなければならないのでは
＞ないでしょうか？
重ねて申し上げますが、物体が固定されていれば無関係です。

回答No.9

issei999

いろいろと考えさせられました。参考にならないかもしれませんが、議論に参加します。
　あなたの考える物体を含んだところによる圧力は、同時に、下方からだけではなく、上から物体を押す圧力にもなりませんか。（パスカルの原理より）とすると、結局は、この圧力は相殺されて、０になってしまいますね。
　浮力を考える場合、液体中におかれた物体にかかる圧力は、その液体による圧力を考えるだけでいいのではないかと思います。あなたの考える圧力によって浮力を考えていったら、＃５さんのおっしゃるように
重いもの程浮力が大きくなってしまいます。
　えき面からｈの深さの点の圧力は、P＝P0＋ｐGh（P0は大気圧）です。物体の底面積をS、高さHの直方体で
考えると、上面に働く力は、下向きに、
（P0＋ｐｇｈ）S
　下面の働く力は、上向きに、{P0＋ｐｇ（ｈ＋H）}S
と、物体に働く液体の働く力だけを考えればよいと思います。この点では、＃４さんの説明の通りだとおもいます。
　また、一般的には、液体中におかれた任意の物体のある地点にかかる液体からの圧力を、その全面積にわたって積分すると、浮力がもとめられます。
　浮力は、別のみかたをすると、液体中の物体の一点一点にかかる圧力の全総和でもあるからです。

　わたしは、昔、このアルキメデスの原理が不思議でなりませんでした。なぜ、物体の押しのけた体積の分
の液体の重さだけ軽くなるのかということでした。
　液体が接しているのは、その物体の表面だけなのに
と考えていたのです。上のように考えて納得がいったのです。もっとも、積分による計算によって、
　P=ｐGV（Vは物体の体積）は出てきますが、一つ一つのきちんとした意味まではつかみかねたままです。

　参考になれば幸いです。

回答No.8

DASS

＃１の参考ＵＲＬが一番わかりやすいですね。
ただし、何となく、一点だけ、説明不足なところがあるようです。

Ｐ３は、「物体が水から受ける、下から上への圧力」なので、物体の重さは関係無いと思います。
なので、Ｐ３－Ｐ１＝ｐｇａ＾３　が、「物体が受ける浮力」になるという説明で間違いはないと思います。

ここで説明不足なのは、せっかく事前に説明してる「物体の重さ＝Ｍｇ」と「浮力＝ｐｇａ＾３」を比較していない点です。

物体に対し、上下方向にかかる力は、

＜下向き＞
Ｐ１（物体上の水の重さ）
Ｍｇ（物体自身の重さ）

＜上向き＞
Ｐ３（物体が水から受ける浮力）

の３つの力があるはずです。

つまり、　Ｐ３－Ｐ１　は、浮力のみを計算しており、浮かぶか沈むかは、Ｐ３－（Ｐ１＋Ｍｇ）で計算するべきなのだと思います。

この説明が足りないと思いましたが、いかがでしょうか。

補足

ありがとうございます。

> Ｐ３は、「物体が水から受ける、下から上への圧力」なので、物体の重さは関係無いと思います。

これが「本当だろうか？」というのが、私の疑問の核心です(ご回答のその他の部分に関しては、まったくその通りだと思います)。ある深さにおける水圧は、そこより上にあるもの(水、大気、ピストンなど)にかかる重力に逆らってそれらを支えています。したがって、上にある水の密度が突然上がったり、大気圧が上がったり、ピストンを押したりすれば、いずれも水圧は上がります。なぜ水中の固体だけが特別扱いされるのでしょうか？

回答No.7

oruka

zabuzaburoさんの考えを私なりに解釈してお答えします。

おっしゃるとおり立方体の下面には立方体の自重による圧力が「一瞬かかろうと」しますね。ここからが流体独特の現象です。周辺の水圧は立方体の真下の水圧より小さいことになるので、真下の水は両脇に押し出されていくのです。だから物体は沈み続けることになります。（水には粘性抵抗がありますからある一定のスピードでつりあうことになりますが）
ただもし、立方体の断面とぴったり同じサイズの水槽で、真下の水が横に逃げる隙間が全くなければ（注射器のピストンと同じ状態を想像してください）立方体の下の水圧は立方体の質量が加算されることになりますね。

zabuさんの質問中にもあるとおり「通常の浮力の説明」ではこのような動的な過程ではなく静的な状態しか扱いませんから「太さの無視できる糸などで上から吊り下げている状態」を考えていると思って下さい。これなら疑問は解決しますね。

zabuさんの考えたい内容はすでに静的に扱える範囲を超えていたのです。

あと蛇足になるかもしれませんが、こういうことを考える時は作用・反作用の法則にも注意してください。
立方体が受ける力を考える時は、立方体自身が押す力（これは立方体以外のものに作用する）と区別する、ということです。「立方体全体を考える」のか、「立方体最下面の分子層のみを取り出して考える」のか、あるいは「立方体最下面に触れている水分子の１層を取り出して考える」のか、厳密に意識していないと混乱をきたします。

補足

ありがとうございます。だんだん理解が深まってきました。あの浮力の説明図は、物体が水中を沈下・浮上している最中のスナップショットではなく、本当に水中で釣り合っている(釣り合わせている)絵なのですね。初歩的な知識で理解するためにはそのようにセッティングせざるを得ないわけですね。

それでは、今まさに沈下／浮上している物体にかかる浮力は、静的に測定したものと等しいのでしょうか、異なるのでしょうか。

とりあえず粘性抵抗を無視した上で、ご回答に沿って動的に考えてみます。水より密度の高い物体を水中に入れると、物体の真下の水圧が周囲より高くなり、これによって物体が沈み続けます。沈み「続ける」ということは、真下の水が周囲に逃げても逃げても、さらに下の水が物体に押されて再び水圧差が生じ……ということを繰り返すわけですよね。すなわち、動的に考えた場合、物体の下面には周りの水圧より高い圧力が「常に」かかっている、ということになるのでしょうか。もしそうだとすれば、浮力の説明図も、アルキメデスの原理も、静的に浮力を測定した場合について成り立つだけで、実際に沈下／浮上中の物体にかかっている浮力については成り立たない、ということでしょうか。

回答No.6

Mell-Lily

例えば、糸で吊るした鉄の球を、水で満たされた水槽に入れるとします。このとき、空気中での鉄の球の重さから、鉄の球にかかる浮力を引いた分の重さは、鉄の球が吊されている糸にかかっています。したがって、鉄の球の下にある水には、水中での鉄の球の重さはかかっていません。アルキメデスの原理によれば、物体は、自分が押し退けた水の重さと同じだけの浮力を受けるわけです。物体の周りの水にとっては、物体があろうがなかろうが同じであるということです。

補足

ありがとうございます。
浮力を測定するには、物体をバネ秤に繋いで水中で静止させて重さを量り、水の外で量ったときとの差額を求めればいいですよね。この状況では、物体が重くても、浮力が支えきれない分はバネが引き受けてくれますから、下面には通常の水圧のみが上向きにかかっていると考えてよい、と納得できます。しかし、普通の浮力の説明図では、物体は水中に存在するだけでバネや糸とは結ばれていませんし、そもそも外力で釣り合わせるような操作をしないからこそ、「浮力と重量の大小で浮くか沈むかを判断する」という話になるのではないでしょうか。バネが切れて、物体が水中を沈下したり浮上したりしているまさにその瞬間にも、浮力は厳然と働いていると思うのですが、このときの物体の下面に働く水からの力を、バネで繋いだ場合と同じように考えてよいものなのでしょうか。

回答No.5

titanuser

説明って難しいですね。

浮力とは、流体中にある物体が浮かぼうとする上向きの力だと定義します。
同じ体積、同じ形の鉄と発泡スチロールを考えます。
これを水中で手を離します。
zabuzaburoさんの考えでは、重い鉄の方が浮力が大きい、即ち鉄が浮かぶということになりませんか？
実際は鉄が沈みます。これは両者に同じ浮力がかかっていても、鉄の方が密度が(水より)大きいために沈むのです。

お礼

仮に比重の大きい物体ほど浮力が大きくなると仮定しても、重量(物体にかかる重力)よりも緩やかな割合で増大するのであれば、「比重の大きいものほど沈む」という定性的な法則は崩れませんよね。でもまぁ、きっとそういうことはなくて、私の推論のどこかが誤っているのだと思います。どこが間違っているのか、もう少し考えたいと思います。ありがとうございました。

回答No.4

Zincer

SCNKさんの仰るように浮力の発生原因はその物体にかかる上下方向の流体の圧力差です。
zabuzaburoさんは「パスカルの原理」をご存知と思います。
＞下面の上には水だけがあるものとして圧力を計算しています。
と、ありますが上記の原理より、物体に（下方から）かかる流体の圧力は、（厳密に）それより上面にある流体から受ける圧力に等しいのです。

もしここに近似項を見出すとするならば「圧力差による流体の密度差を０」としている点ぐらいなものでしょう。
つまり流体が（空気などの）気体の場合、その圧力によって流体自身の密度が変化しますから物体が上下方向に異常に長い場合は、この点を考慮しなくてはなりません。（横にどんなに長くても関係ありませんし、ましてや物体の密度は全く考慮する必要はありません。）
例
富士山が大気から受ける浮力

補足

ありがとうございます。
やはりパスカルの原理がポイントなのですね。
>物体に（下方から）かかる流体の圧力は、
>（厳密に）それより上面にある流体から受ける圧力に等しい
ということは、流体の上に固体が乗っていても
その重量は加味されない、ということでしょうか？
しかし、例えば水面の上に「落とし蓋」を置けば、
蓋の重量がパスカルの原理に従って水にかかるのではないでしょうか？

また、上にある流体からの圧力とは、
浮力を考える際には、その流体にかかる重力によるものですよね？
それならば厳密には
流体の体積から物体のスペースを差し引かなければならないのでは
ないでしょうか？