差分法による電位の計算の精度について
- 差分法を使用して電位を求める際の精度について疑問があります。
- 電荷がない場合には差分法の計算結果は完璧に一致しますが、電荷が存在すると一致しないことがあります。
- ポアソン方程式の一般的な解がまだ導き出されておらず、電荷も常に一定ではないため、差分法の計算精度には限界がある可能性があります。
- ベストアンサー
差分法の精度（電位の計算）
よろしくお願いします。 現在、差分法により電位を求めています。 ポアソン方程式を差分化してプログラムにより電位を求め、それと電位の式の計算結果をと比較しているのですが、差分法の計算結果があまり近い値となりません。 差分法の精度とはどのくらいなのでしょうか？ 電荷がない場合では完璧に一致するのですが、電荷があると一致しません。ポアソン方程式の一般的な解はまだ導き出されておらず、電荷も常に一定ではないので十分な精度はない、みたいなことをちらっと聞いたこともあるので、もしやと思ったのですが、そもそも差分法の電位の計算とは一致しないものなのでしょうか？ よろしくお願いします。
- aaaahiru
- お礼率44% (12/27)
- 物理学
- 回答数4
- ありがとう数1
- みんなの回答 （4）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
詳細な情報ありがとうございます。 境界条件が怪しいように思います。 ちなみに、点電荷が空間にぽつりとある状態は、 電磁界解析を行うのは、かなり大変です。 接地導体があると精度が出やすいのですが 無限遠がGNDである場合には精度がでません。
その他の回答 (3)
- Meowth
- ベストアンサー率35% (130/362)
（補足） 中心の座標でｑに値を入れているなら、 点（線）電荷ではなくて、５ｃｍ５ｃｍの領域に平均電荷がある 場合に相当するので（というか近いというか）そのときの理論値とも 比較してみれば？ あと、座標系を円筒座標にするとか、中心付近のメッシュ密度を上げるとか ついでに、 理論値と差分の”境界条件の与え方や、メッシュ間隔の影響”などを 調べるなら、１次元で計算して確認しておいたほういい。 無次元して、、中心付近のφに対して、どの程度遠くまで計算すればいいか＝、”０とおける無限遠”の壁をどの程度にとればいいかを決めておく。 でないと、何を計算しているのか、わからなくなる。 （反射条件、対称条件なら、１ｍ間隔で格子状に線電荷がならんでいるとか（ちょっと違うか）別の問題になる＝比較する理論解が違う）
補足
ご回答ありがとうございます。 メッシュを細かくしたりいろいろ計算してみましたが、境界条件があやしいと感じましたので、自由空間ではない条件で計算してみたいと思います。 あと「点（線）電荷ではなくて、５ｃｍ５ｃｍの領域に平均電荷がある 場合に相当するので・・・」 とありましたが、なぜ５ｃｍ５ｃｍの領域なのでしょうか？体積密度電荷として換算する場合なら格子間隔の長さと同じで1ｍ1ｍの領域だと思うのですが・・・・ 初歩的な質問でしたら申し訳ありません。 私はあまり知識もなく、勉強している最中で私の理解が至らぬ点がほとんどだと思われますが、その中で考えていき、理解を深めたいと思っています。どうぞ、ご教授よろしくお願いします。
- Meowth
- ベストアンサー率35% (130/362)
中心の条件はどうやって与えているのだろうか。 簡単には与えられそうにないが。 そこの近似のしかたでいかようにもなりそうな感じ。 それと、 中心と周辺で等間隔では、やはり、中心付近の誤差がおおきいし、 それを０．１刻みでは、合いそうにない。
- ksugahar
- ベストアンサー率19% (7/36)
superfishは2次元ですが、差分法で相当な精度を出していると聞いたことがあります。maxwell SVは有限要素法ですが、問題なく精度がでます。 具体的にどのような問題であるか教えていただけないでしょうか？
補足
早速の返信ありがとうございます。 はじめは双極子問題（線電荷）を解いていましたが、解が一致しないため、もっと簡単な電荷一個の問題にして行っていました。 自由空間に線電荷+1.0ｃ/ｍがあるときの電位の様子です。領域としては縦・横に1ｍずつの正方形領域で、電荷の位置は縦・横に0.5ｍの位置です。 差分法の場合、式の中で線電荷ではなく、電荷密度として与えられているため、その扱いが解が一致しない原因かと思っていろいろ試行錯誤しましたが、一向に合いません（涙） 差分法での電位の式は、以下の通りです。 φ（i.j）=0.25*(q(i,j)/epsi0*h^2+φ（i+1.j）+φ（i-1.j）+φ（i.j+1）+φ（i.j-1）) q(i,j)：電荷密度 epsi0：誘電率（ここでは真空） h：格子間隔（領域1ｍに対し、節点11でやっているので、ｈ＝0.1m） Z軸方向を考えないでやっているため、線電荷も+1.0ｃとして扱っており、線電荷を電荷密度として扱うために格子間隔で割り、+1.0/ｈ＾2ｃ/ｍ＾2をqsとして用いていましたが、解が一致しないです。 また、電荷の点を中心に点対象なので、境界条件として、左右は同一とみなし、上下は符号が変わり、数値は同一とみなしています。 どこか式を作る段階で初歩的なミスをしているのでしょうか？プログラム自体のミスはないと思うのですが・・・・・ よろしくお願いします。
関連するQ&A
- SOR法による差分方程式の解法
プログラミングのカテゴリーか少し悩んだのですが、 物理関係で差分方程式を解いている人が多いかと思い、 こちらで質問させて頂きます。 解きたいのは、２Ｄポアソン方程式です。(1Ｄでも構いません) 微分方程式を差分化してSOR法を使用します。 SOR法は若干ながらメッシュサイズ、加速係数に 解（ポテンシャル形状）が依存します。 しかし、できるだけこういった条件に依存せずに、 正確な解を得たいです。 より安定に正しい（メッシュサイズなどに依存しない）解が得られる 方法など、SOR法について何かご存知の方、何でも構いませんので、 ご教授のほど宜しくお願いします。 又、複雑な構造（ダブルHEMT構造、局所的に高ドープなど）でも、計算を 収束し易くする方法など、何かありましたらアドバイスをお願いします。
- ベストアンサー
- 物理学
- 数値解析の手法（差分法）について
現在、とある2元の1階偏微分方程式（解はu,vでそれぞれ右と左に進行する波）を数値解析によって解こうと考えています。 数値解析の手段として、差分法がよく用いられると思いますが、 現在、私は、場所に関してはuは後退差分、vは前進差分を使い、 時間に関しては前進差分を使って解いています。 ネットでは場所に関しては中心差分、時間に関してはルンゲ=クッタやリープフロッグなどが 使われていることが多く、私もこの２つを用いて解いてみました。 偏微分方程式には線形項が含まれていたため、 線形問題に対する制約であるΔt/Δx << 1は最低満たすように刻み幅をいろいろ取り、 計算時間も辞さず計算機を動かしてみましたが、 ノイズが消えず、解析解に限りなく近づくには至りませんでした。。 Δt/Δx=0.0001なども試したのですが・・・ そこで、諦めて違う差分法を試し、 場所に関して、uは後退差分、vは前進差分を使い、 時間に関しては前進差分を使って見たところ、 Δt/Δx=0.01程度で解析解に近い、なかなか精度の良い数値解を得ることが出来ました。 2次の差分では上手くいかず、1次の差分だとわりかし上手くいく・・・ 精度的には中心差分やルンゲ=クッタなどの方がいいと思うのですが・・ 正直不思議でなりませんでした。。。 最初に試した差分法のコードミスかと思い、何回もコードを確認し直しましたが、 やはり解析解に近づくには至りませんでした。 こんなことってあるのでしょうか？？ 差分法でも場合によって使い分ける必要があるということでしょうか・・？ その場合分けするときの指標など、知っておられる方、教えて頂けると助かります。 問題によって
- 締切済み
- 数学・算数
- 点電荷が作る電位分布の求め方
点電荷が作る電位分布の求め方 お世話になります。 1次元の電位分布についての質問です。 高校の物理で習ったように、1[C]の点電荷（あるいは微小な大きさを持つ電荷）が原点にあるときの電位分布は、無限遠をゼロとして、 φ = (1/(4πε)) * (Q / r) ・・・(1) で表せますよね？ 同じ分布をポアソン方程式（div (grad φ) = -ρ/ε）から求めるにはどうすればよいでしょうか。 1次元の場合ポアソン方程式は単純な2階微分方程式になると思いますので、rで2階積分してみたのですが、原点以外ではρ= 0 のため φ が一次関数になってしまい、(1)のような反比例の関係にはなりそうにありません。 どこか考え方が間違ってるのだと思いますのでご指摘いただけると助かります。 よろしくお願い致します。
- ベストアンサー
- 物理学
- ポアソンの方程式を用いた電位の求め方
ポアソンの方程式を用いて原点に置かれた単位点電荷による電位を求めるという問題なのですが結果がガウスの法則によって求まる値と異なってしまいました。 一つ前の問題で電位がC/r(Cは定数)と表せることが求められたので、 ポアソンの方程式より ∇^2(C/r)=-ρ(r)/ε 両辺を半径rの円で体積積分すると、ガウスの発散定理より 左辺=∬∇(C/r)・dS =4πr^2/r^2×{∂(cr^2/r)/∂r} (極座標における発散より) =4πc 右辺=-1/ε∬∫ρ(r)dv =-1/ε (原点に単位点電荷があるのみなので) 右辺と左辺を比較することでc=-1/4πεとなり、電位は-1/4πεrとなるのですが、 ガウスの法則によって求めた電場を積分して求められる電位は1/4πεrとなります。（こちらは教科書に載っていたのであっていると思います） どこが間違っているのでしょうか。 基本的な問題ですがご存知の方、よろしくお願いいたします。
- ベストアンサー
- 物理学
- 熱伝導方程式を差分法で解くプログラム
前回熱伝導方程式の差分法の解き方について質問させて頂いたものです。 https://sp.okwave.jp/qa/q9363032.html 回答ありがとうございました。おかげさまで差分法で解くプログラムを書くことができました。 書けたのは良いのですが、間違っている可能性が大きいです。 私の考えでは、安定性条件を満たしていれば dt,dxを小さくすればするほど、収束温度は変わらず計算精度が高くなっていくと思ったのですが、 私の書いたプログラムではdxdtの値を変えると収束温度まで変わってしまいます。 プログラムに関しても初心者なので説明が難しいのですが、やはり収束温度が値によって変わるということはプログラムがどこか間違っているということでしょうか。 度々すみませんが、回答いただけるとありがたいです。よろしくお願いいたします。
- 締切済み
- 物理学
- ３次元の差分法について
よろしくお願いします。 現在、３次元の差分法について勉強しています。プログラムにて電位や電界の計算を行っているのですが、本やサイトでは簡単にするために２次元で扱っているものが多いです。 何かお勧めの参考書やサイトがあれば教えていただけますでしょうか。 よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 物理学
- 単精度計算と倍精度計算
Ｆ（ｘ）＝（１－ｘ・ｘ）１／２乗において、ｘの値を０．９、０．９９、…０．９９９９９と変化させた場合の単精度計算と倍精度計算の結果を求めるプログラムを教えてください。
- ベストアンサー
- C・C++・C#
- H2のエネルギー計算
H2のSchrodinger方程式は変分法を用いて，高精度の解が求められると思います．現在では100桁を超える高精度の解が求まっていると聞きました． ここで疑問に思ったことがあります．その100桁をも超える高精度の解といっても，本当に正しい値というのはどのようにして求まっているのでしょうか．実験でも誤差がでると思いますし，そもそも不確定性原理から100桁というのは正しい値といえるのでしょうか？
- ベストアンサー
- 化学
補足
返信が遅れて申し訳ありません。 回答していただきありがとうございます。 私も考えた結果、境界条件がよくないと感じました。 よって自由空間ではなく、設置されて0Vの４辺に囲まれた正方形内という条件で考えてみたいと思います。 電位の式が変わるので電気影像法で求めてみたいと思います。 また何かありましたらご教授よろしくお願いします。