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互いに素
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おはようございます。 >「…yとzは互いに素であるから、その少なくとも一方は奇数である。」 とありますが、y,zは整数ですよね。 ◎ 整数y,zがあるとき、 yとzとは互いに素 ⇔yとzの最大公約数が1 と定義します。 したがって「両方とも偶数である」と 仮定すれば、両方とも2で割れる、つまりy,zの 最大公約数は、2の倍数となって矛盾する、 よってどちらかは少なくとも奇数、ということです。 また「2つのうち、少なくとも一方は奇数」ということは (ア)片方だけ、奇数 の場合と (イ)両方とも奇数の場合があります。 また、[互いに素」と「素数」とは違う概念なので 注意しましょう。 例 (ア)片方だけ奇数のもの 「 4と15とは互いに素」、「6と35とは互いに素」、 「3と22は互いに素」 (イ)両方とも奇数 「15と77は互いに素」など しかし、「8と12とは互いに素でない」(最大公約数が4なので) 整数論そのものは高校ではやりませんけれども、受験勉強などを続けていると、その内に分かってきます。
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- sanori
- ベストアンサー率48% (5664/11798)
こんにちは。 「少なくとも一方が奇数」の補は、 「両方とも偶数」です。 具体的に数字を挙げてみればよいです。 2と4 4と6 4と8 126と37892 これらは全部、2という公約数を持っています。 ですから、偶数同士は、互いに素ではありません。 証明の一例 仮に、 「yもzも偶数である」 としましょう。 すると、整数m、nを用いて y=2m z=2n と表すことができる。 これはyとzが、2という公倍数を持つことを示している。 よって、 yもzも偶数であるとき、yとzは互いに素ではない ということが証明できました。 つまり、 「yもzも偶数であるとき、yとzは互いに素ではない」 が正しいわけですが、 この対偶は、 「yとzが互いに素であるとき、yとzの少なくとも一方は偶数以外(=奇数)である」 ですから、これも正しいということになります。
お礼
回答ありがとうございます。 命題の対偶も真であるという証明ですね。 回答に感謝します。
- mistery200
- ベストアンサー率42% (21/50)
偶数の定義は2の倍数です。 両方とも偶数とは、両方とも2の倍数です。
お礼
回答ありがとうございます。 なるほど、わかりました。
「yとzが互いに素」なんですよね? yとzの取り得る組合せは、 奇数・奇数 奇数・偶数 偶数・偶数 になりますが、「偶数・偶数」の時それぞれ y=2×y' z=2×z' と表せます。 yとzに共通因数「2」があることになります。 これは、最初の「互いに素」に反するので、前提となる「偶数・偶数」の組合せが間違っていることを表しているので、少なくとも一方は奇数でなくてはなりません。
お礼
回答ありがとうございます。 問題の解説では、「x=y/z (yとzが互いに素)と仮定して・・・」と回答を進める部分です。 ANo.1で示していただいた背理法ですね。 ありがとうございました。
- nettiw
- ベストアンサー率46% (60/128)
(背理法) yとzが共に偶数ならば、yとzは互いに素ではありません。
お礼
回答ありがとうございます。 確かにそうですね。わかりました。
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お礼
回答ありがとうございます。 >y,zは整数ですよね。 そうです。整数です。 >また「2つのうち、少なくとも一方は奇数」ということは (ア)片方だけ、奇数 の場合と (イ)両方とも奇数の場合があります。 問題は、命題の証明問題であり、上記のごとく、その後、(ア)片方だけ、奇数 の場合と(イ)両方とも奇数の場合に場合分けをし、条件式との矛盾を示しています。 有理数や無理数の証明問題としては、このように分数の形を仮定し、偶数、奇数の矛盾を示すという定石みたいなものがあるようですね。