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ある大学入試にて
a,b,cを奇数とし、ｘについての二次方程式ax^2+bx+c=0に関して、 （1）この二次方程式が有理数の解ｑ/ｐをもつならば、ｐとｑはともに奇数であることを証明せよ。ただしｑ/ｐは既約分数。 【この問題は解けました。】 （2）この二次方程式が有理数の解をもたないことを（1）を用いて照明せよ。 上の問題はある大学の過去に出題された問題なのですが、（１）でこの式はｐとｑがともに奇数である有理数の解をもつと証明されているのに、何故（2）をする必要があるのですか？ する必要が無いと思うのですが。 もしよければ、証明法を添えて、教えてもらえれば幸いです。
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（１）が成り立つと仮定すると、（２）は、xにｑ/ｐを代入して、分母を払い、aq^2+bpq+cp^2=0となります。ところが、このa,b,c,p,qはすべて奇数なので、左辺の３項はともに奇数となり、奇数を３つ加えても偶数の0には成りません。よって、（１）の仮定が間違っていて、この2次方程式は有理数の解を持たないと言うことを、出題者は証明してほしいのでしょう。
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- xeno-rd
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(1)ではpとqがともに奇数であるような有理数q/pを持つというのは「仮定」であり、証明されていません。 この手の問題ではそもそも解かせたいのは(2)であり、(1)はそのヒントに当たるものというのが多いです。 この問題では「有理数の解q/pを持つとすれば」と置けば証明できる、というヒントでしょう。 (2)の証明はpとqがともに奇数であるq/pを問題の式に代入して変形すれば0にならなさそうなので背理法で解けそうな気がします。
お礼
ありがとうございました。
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