ペル方程式x^2-py^2=-1は常に整数解を持つか？

質問

先日、
http://okwave.jp/kotaeru.php3?q=2069583
で、√Dの連分数展開の周期がいつ奇数になるか？という問題を質問させていただきました。平方剰余の相互法則の第一補充則と簡単な議論から、Dは4で割り切れないこと、さらにDの素因数に4で割って3余る素数を含まないことが必要条件となります。連分数展開の周期が奇数になることと、ペル方程式
x^2-Dy^2=-1
が整数解を持つことは同値です。したがってこのためのDの必要条件が求められたことになります。しかし、上の条件が満たされるDでもペル方程式が整数解を持たないものがたくさんあります。たとえば34,146,178,194,205,221,…などなどです。他方、合成数であっても解をもつDもたくさんあります。いったいこれらの性質の違いがどこから来るのか知りたいものです。ですが、難しい問題なのかも知れません。

で、本題です。このDが特に素数pのとき、解を持たないような反例が600以下の4で割って1余る素数で見つからなかったので、これなら正しいのではないか？と思ったので、そのことを証明する方法、あるいは反例があるのであれば知りたいと思いました。

きちんと書くと、「pを4で割って1余る素数とするとき、x^2-py^2=-1は常に整数解を持つか？」ということです。4で割って1余る素数pはある互いに素な自然数s,tを用いてp=s^2+t^2と表されることが知られています。しかし、こう表されることがペル方程式が整数解を持つための十分条件になるかというとそうではありません。たとえば34=5^2+3^2は合成数で平方和分解を持つ数ですが、上記のペル方程式の整数解を持たないもので、58=7^2+3^2は合成数で平方和分解をやはり持ちますが、こちらはペル方程式が整数解を持ちます。ですから、もし僕の書いた主張が正しいのであれば、素数性が大事なのであって、平方和分解とは本質的に異なる問題だと思います。

回答No.4

ringohatimitu · ベストアンサー

その主張の証明が以下の本に載っているようです（まだ自分では確かめてみてませんが）：
Diophantine equations / Mordell, L. J. (Louis Joel), 1888- / London / 1969
－１に対してのPell Equationsはかなりよくわかっているようです。参照してみてください。

お礼

ありがとうございます。Mordellの本を参照してみました。Pell's equationという章があって、15ページほどでしょうか、記述がありました。p≡1(mod.4)の場合は次の簡単な議論によって解の存在がわかるようです。
x^2-py^2=±1の最小自然数解を(X,Y)とおく。もしX^2-pY^2=1であれば、p≡1(mod.4)よりXは奇数、Yは偶数でないといけない。したがって{(X+1)/2}・{(X-1)/2}=p(Y/2)^2という分解を持つ。これから、ある整数a,bが存在して
(1) (X+1)/2=p・a^2，(X-1)/2=b^2
(2) (X+1)/2=a^2，(X-1)/2=p・b^2
のどちらかのようにあらわされる（平方因数を持たなければ共約数を持つことになるが、それは差が1であることに矛盾）。片々引けば
(1) b^2-p・a^2=-1
(2) a^2-p・b^2=1
となる。いずれにせよ、(X,Y)が最小自然数解であることに矛盾。したがって、p≡1(mod.4)に対する最小自然数解はX^2-pY^2=-1を満たす。
古い本なので最近のことはどうかわかりませんが、出版時点では「まだ一般の合成数Dに対しx^2-Dy^2=-1がいつ可解になるか、ということは知られていない」と書かれていました。

補足

Dが素数の場合と同様の論法を使って、D=2p（p≡5(mod.8)）の場合についても正しいことがわかりました。D合成数に対して、さまざまな必要条件や十分条件を与えられることが、実際に作ってみた数表を眺めているとわかりましたが、そのどれもが必要十分の形で与えることはできませんでした。剰余だけに着目するというのはセンスの悪い考えなのかも知れません。ベルヌーイ数やオイラー数との関係も指摘されているようで、なかなか奥の深い問題のようです。

回答No.3

yoikagari

100万までの素数表もつけておきます。

参考URL：

http://www.h7.dion.ne.jp/~konton/sosuu.html

回答No.2

yoikagari

失礼しました。

お詫びと言ったら何ですが、Dが2≦D≦9999の任意のx^2-Dy^2=±1の最小解があるページへのリンクを張っておきます。

お役に立てれば幸いです。

参考URL：

http://www.kaynet.or.jp/~kay/misc/pell2.html

お礼

素敵なページをご紹介くださってありがとうございます。9999まででも反例はやはりないようですね。となるとおそらく正しいのでしょう。合成数についてもいろいろ調べてみたので、わかった事実を一つ報告しておこうと思います。D=2*pでpが4で割って1余る素数の場合、この場合x^2-Dy^2=-1は整数解を持つことも持たないこともあるのですが、特に整数解を持たない場合はいつでもp≡1(mod.8)となっていました（p<1000で確かめました）。対偶を取ればp≡5(mod.8)ならばD=2*pに対してx^2-Dy^2=-1は整数解を持つことになります。先のp≡1(mod.4)の場合が正しいとすれば、それとは別の十分条件が与えられることになります。残念ながら必要条件ではないようです。n=30ぐらいまでで調べてみましたが、剰余だけでは判定できないように思いました。ずいぶんと難しい問題なのかも知れません。
来週あたりに数論をやってる修士の子と会える機会がありそうですので、少し聞いてみようと思います。何かわかりましたらご報告しようと思います。

回答No.1

yoikagari

以下のページをご覧ください。
Dが4で割って1余る素数の場合も、周期kが偶数になる(つまり、x^2-Dy^2=-1が解を持たない)場合があることがわかると思います。

以下のページを見ると
D=103のとき周期k=12
D=127のとき周期k=12
D=139のとき周期k=18
D=151のとき周期k=20
D=163のとき周期k=18
D=191のとき周期k=16
D=199のとき周期k=20
D=213のとき周期k=12
D=251のとき周期k=14
D=263のとき周期k=12
D=271のとき周期k=24
D=283のとき周期k=18
D=307のとき周期k=14
D=311のとき周期k=16
D=331のとき周期k=34
とあります。

参考URL：

http://aozoragakuen.sakura.ne.jp/suuron/node65.html

補足

ありがとうございます。ですが上に上げられているのは213は合成数ですし、他は4で割って3余ります。僕が計算した結果を下に貼り付けておきます。
P 周期
5 1
13 5
17 1
29 5
37 1
41 3
53 5
61 11
73 7
89 9
97 11
101 1
109 15
113 9
137 9
149 9
157 17
173 5
181 21
193 13
197 1
229 5
233 11
241 17
257 1
269 3
277 21
281 13
293 5
313 17
317 11
337 19
349 7
353 15
373 5
389 9
397 21
401 1
409 21
421 37
433 21
449 17
457 25
461 15
509 19
521 19
547 39
557 5
569 19
577 1
600までの4で割って1余る素数では反例はありませんでした。