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大小関係を平均値の定理を使って解く問題です
「正の実数a,b,pに対して、A=(a+b)^p とB=2^(p-1)(a^p+b^p)の大小関係を調べよ。」 という問題で、解答は、 a<=bとしても一般性を失わない。a<bのとき、 B-A=2^(p-1)(a^p+b^p)-(a+b)^p=2^(p-1){a^p+b^p-2(a+b/2)} =2^p-1〔{b^p-(a+b/2)^p}-{(a+b/2)^p-a^p}〕 ここで平均値の定理により、a<c<a+b/2<d<bであるc,dが存在して、 B-A2^(p-1)*b-a/2*p(d^(p-1)-c^(p-1)―――――――*** より、 0<p<1のときB-A<0、p=1のときB-A=0、p>1のときB-A>0 したがって一般に a≠bのとき、0<p<1ならA>B、P=1ならA=B、p>1ならA<B またa=bのときA=Bは明らかである。 ―――――――***の部分がわかりません。 平均値の定理は3つの数の関係ではないのでしょうか。 5つの数でも関係が成り立つのでしょうか。 5つの数での解説は見当たらず困っています。 解説よろしくお願いします。
- eirik
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- Tacosan
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b-(a+b)/2 = (a+b)/2-a = (b-a)/2.
- Tacosan
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まず, 括弧は適切に付けること. a+b/2 は「a に b/2 を足したもの」と読むんだけど, それで趣旨はあってますか? 流れからすると, a<c<(a+b)/2<d<b から「a, c, (a+b)/2」に対して, また「(a+b)/2, d, b」に対してそれぞれ平均値の定理を使ってるような気がする. でなければその上でわざわざ (a+b)/2 を導入した意味がないし.
補足
ごめんなさい。(a+b)/2です。また、(b-a)/2です。 それぞれに平均値の定理を使っても、(b-a)/2という数が出てきませんでした。単なる計算間違いなのかもしれませんが…
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