微分演算子についての証明 - インテグラルを使った解法
- 微分演算子についての証明を行う問題です。与えられた式は1/(D-a)f(x)=e^ax インテグラル(e^(-ax)f(x)dxであり、最終的な変換の意味についての疑問があります。
- 解答によると、最後の変換はe^(ax)/D[e^(-ax)f(x)]=e^(ax)インテグラル{e^(-ax)f}となります。ただし、Dは微分演算子を表します。
- 疑問点は、1/Dという形が積分を意味するのか、また教科書には最後の部分がfと書かれていたが、f(x)の間違いと考えてもいいのかどうかです。ご教授をお願いします。
- ベストアンサー
微分演算子について
1/(D-a)f(x)=e^ax インテグラル(e^(-ax)f(x)dx を証明せよ。 って問題なんですが、自分なりに考えてみたんですが、最後の変換の部分がちょっとわかりません。 解答/////// 1/(D-a)f(x)=1(D-a)[e^(ax)e^(-ax)f(x)]=e^(ax)/D[e^(-ax)f(x)] ここまでは、教科書を見ながら解いて納得できたのですが、最後の変換だけがちょっと意味がわかりません。 e^(ax)/D[e^(-ax)f(x)]=e^(ax)インテグラル{e^(-ax)f} 1/Dって積分しろって意味なんでしょうか？それなら納得なんですが、 あと教科書には、最後の部分がfって書いていたんですが、f(x)の間違いと考えていいでしょうか？ すみませんが、ご教授お願いします。
- fallen4487
- お礼率87% (67/77)
- 数学・算数
- 回答数1
- ありがとう数1
- みんなの回答 （1）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
D を微分演算子とすると 1/D は「微分の逆操作」です. あと, f となっているのは「簡単に書いただけ」だと思います.
関連するQ&A
- 微分積分
数学の問題を解いたのですが、解答がないので答え、途中式があっているのか分からず困っています。 皆さんの力を是非お貸しください。 I f(x)=x^x(x>0)の最小値を求めよ。 ＊x^xは「xのx乗」と言う意味です 私の解答)[対数を使うのでは？と思いました] g(x)=logf(x)=xlogx xは0に近づくにつれ、限りなく0に近くなる。 logxもxが0に近づくにつれ、logxは小さくなる。 よってxlogxは限りなく小さくなり、 最小値はない。・・・・(答え) II ∫xe^(－ax) dx(a>0)を計算せよ。 [0 ∞] ＊∫ は定積分で∫の上側に∞、下側に0がある意味で使っています [0 ∞] ＊e^(－ax)はeの－ax乗と言う意味で使っています。 私の解答)[部分積分を使うのでは？と思いました] f =x f' =1 g' =e^-ax g =-a・e^-ax ∫xe^(－ax) dx=[-ax・e^(-ax)]－∫(-a・e^-ax)dx [0 ∞] [0 ∞] [0 ∞] =-a・e^-ax・∞+a・e^-ax ・・・・(答え) III ∫xcos(ax)dx(a≠0)を計算せよ。 [0 1] 私の解答)(IIと同様に部分積分か？と思いました) f =x f' =1 g' =cos(ax) g =sin(ax) ∫xcos(ax)=[xsin(ax)]－∫sin(ax) [0 1] [0 1] [0 1] =sin(a)+[cos(ax)] [0 1] =sin(a)+cos(a) ・・・・(答え) 特にIIの∫の範囲(？)に∞が入ったものを経験したことがなく、手持ちの本にも例題がなくxにそのまま代入してよいのか分かりません。 よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- e^(ax)の微分と積分
e^(ax)の微分と積分 e^x'=e^x ∫e^x dx=e^x ですが、 e^(ax)'=a*e^(ax) ∫e^(ax)dx=(1/a)*e^(ax) で合ってますか？
- ベストアンサー
- 数学・算数
- e^(x^2)の積分に関して
この積分をする場合、１と掛けてると考えて部分積分法を用いてやれば良いのでしょうか？ e^(x^2)を部分積分するなら （インテグラル）e^(x^2)dx＝（x・e^(x^2)）ー（（インテグラル）x・(e^(x^2))’）dx になるともうんですが e^(x^2)の微分がどうしていいのかわからないので解けません 誰か詳しく教えていただけるとうれしいです。
- 締切済み
- 数学・算数
- 微分方程式
微分方程式 dy/dx+ay=cosx を初期条件 x=0のとき、y=0 のもとで解け。ただし、aは正の定数とする。 という問題です。 １階線形微分方程式y'+P(x)y=Q(x)の解法で解けばいいのかなと思い、 解いていきました。 P(x)=aなので、 e^(∫P(x)dx)=e^(∫adx)=e^(ax) これを問題の両辺に掛けると、 e^(ax)y'+e^(ax)ay=e^(ax)cosx (e^(ax)y)'=e^(ax)cosx e^(ax)y=∫e^(ax)cosxdx となりました。 で、∫e^(ax)cosxdxの解き方がよく分かりません。 置換積分法と部分積分法を試したのですが、ダメでした。 そもそもこの解き方であっているのかもあまり自信がありません。 この問題の解き方、または∫e^(ax)cosxdxの解き方を教えて下さい。 ちなみに、指数の部分は()でくくられているところで、cosxやyは指数ではありません。 どなたかヨロシクお願いします。。。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 微分と積分の関係
微分と積分の関係を説明するときに、定積分を使うのはなぜですか？ すなわち、 f(t)の原始関数の一つをF(t)として、 (d/dx)∫[a,x] f(t)dt=(d/dx){F(x)-F(a)}＝F'(x)＝f(x) (∫[a,x]は、下端がaで、上端がxです。） のように定積分を使って、微分と積分の関係を説明するのはなぜですか？ 不定積分を使うのはだめなのでしょうか？ すなわち、 f(x)の原始関数の一つをF(x)として、 (d/dx)∫f(x)dx=(d/dx){F(x)+C}=F'(x)=f(x) というふうにして、微分と積分が逆演算であることを説明するのはだめなのでしょうか？ 個人的には、f(t)が出てきてよく分からなくなってしまう定積分の説明よりも、後者の説明の方がいいと思うのですが、どうなのでしょうか？ とても困っています。 回答よろしくお願いいたします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 微分・積分の初歩の問題を教えてください。
F(x)=ax/(bx^2+cx+d) とした場合 f(x)=F'(x)の求め方がまずわかりません。 その場合、以下の不定積分は成り立ちますか？ ∫f(x)dx=F(x)+C=ax/(bx^2+cx+d)+C そして、x=0 から x=50 の定積分の答えはF(50)で合ってますか？
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 微分方程式の微分演算子による解法
来月上旬に大学院入試を受けるので、それに向けて現在勉強中です。 微分方程式で分からない問題があったので教えてください。 特に微分演算子を用いた解法に従って解く方法を教えていただければと思います。 （それ以外の解き方も参考になるので教えていただけたら助かります。） 問題は (1) (D^4+2D^2+1)y=x*sin(x) (2) y'''-2y'+4y=(e^x)*cos(x) Dy=y'=dy/dxです。 私の持っている本では、定係数非同次線形常微分方程式をΦ(D)y=f(x)と表したときに、Φ(D)が既約実2次式を持つ場合、非同次項f(x)が ・多項式 ・e^(ax) ・cos(ax) ・sin(ax) の場合のみについて解説してあり、上記のような項についての計算がわからなかったので質問させていただきました。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- グリーン関数（連立常微分方程式）について
お世話になっております。 グリーン関数を連立常微分方程式を解くような解法でやっていたら、参考書の解答と一か所異なる場所が出たのですが、よくわからなかったので質問させていただきます。 問題： uはxのみの関数であり -u'' +a^2 u = f(x) B.C. u(0) =α u(L)=β のとき、u(x)を求めよ。 解答： 連立常微分方程式として変形すると U=[u u']T (ただしTは転置のT) M=[-a 0] [0 a] （ただしM=2*2の行列 P=[1 1] [-a a] （ただしP=2*2の行列 V=[v1 v2]T U=PV とすると 与式は V'= MV + P-1[0 -f(x)]T = MV + f(x)/2a [1 -1]T すなわち v1' = -av1 + f(x)/2a v2' = av2 - f(x)/2a となります。 ここまでは僕の解答と参考書のそれは一致してます。 以降簡単のためv1のみ議論の対象とさせていただきます。 【参考書では】 v1= C1e^-ax + e^-ax∫(e^ay/2a)f(y)dy 積分区間0 to x となっております。 もちろんこのあとVからUに変換して、B.C.考えてu(x)を求めますが、これ以降は大丈夫そうなので割愛させていただきます。 【僕がやった解答は】 http://markun.cs.shinshu-u.ac.jp/learn/biseki/no_10/liner.html を用いたのですが、つまり v1' = -av1 の同次形の答えをz1(=C1e^-ax)としますと v1=w(x) z1と仮定して v1' = -av1 + f(x)/2aに代入すると w'= f(x)/(2az1) が出るので w=∫f(x)/(2az1) dx + C2 (不定積分) ゆえに v1 = wz1 = C3e^-ax + e^-ax∫(e^ax/2a)f(x)dx （不定積分） となり、参考書のものと異なってしまいます。 積分の文字事態は別にどうでもいいということは理解してますが ∫(e^ay/2a)f(y)dy 積分区間0 to x ∫(e^ax/2a)f(x)dx とは全く別物ですよね？ どなたか、どこが間違っているのかご指摘して願えませんか？ どうかよろしくお願いいたします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
お礼
なるほど、やっぱり積分と考えてよかったんですね。 fとか略したのは初めてみましたのでかなり混乱しました。 説明ありがとうございます。 本当に参考になりました。